定积分应用习题课.ppt

定积分应用面图形的面积特殊立体的体积平面曲线弧长???旋转体的体积平行截面面积为已知立体的体积 ?????变力作功水压力引力二、构造微元的基本思想及解题步骤 1. 构造微元的基本思想元素法的实质是局部上“以直代曲”、“以不变代变”、“以均匀变化代不均匀变化”的方法,其“代替”的原则必须是无穷小量之间的代替。将局部上所对应的这些微元无限积累,通过取极限,把所求的量表示成定积分. ],[],[ba dx xx??? ba dx xf)( 无论是几何应用还是物理应用通常采用元素法。 2. 在求解定积分应用问题时,主要有四个步骤: ①选取适当的坐标系; ②确定积分变量和变化范围; ③在上求出微元解析式(积分式)。[ , ] x x dx ?④把所求的量表示成定积分( ) . ba f x dx ?三、典型例题 1. 几何应用定积分的几何应用包括求平面图形的面积、特殊立体的体积和平面曲线的弧长。解决这些问题的关键是确定面积元素、体积元素和弧长元素。【例1】求由所围成图形的面积。 2 0, 2 x y y x x ? ???分析:在直角坐标系下,由给定曲线所围成的几何图形如图所示。如果取为积分变量, 则 x [0, 3]. x?[0, 3], x ??设区间所对应的曲边梯形面积为则面积元],[ dx xx?素就是在上以“以直代曲”所形成的矩形面积。,A? dA ],[ dx xx?解:( 1) 确定积分变量和积分区间: 的交点为和, )0,0()3,3(取为积分变量, 则 x [0, 3]. x? xxy2 2??由于曲线和 0??yx (2)求微元:任取[0, 3], x?[ , ] [0, 3]. x x dx ? ?如果将图形上方直线的纵坐标记为, xy? 2 将图形下方抛物线的纵坐标记为, xxy2 21??那么, 就是区间所对应的矩形的面积。因此 dA [ , ] x x dx ?dx xxdx xxxdx yydA)3( )]2([)( 2 2 12????????(3)求定积分:所求的几何图形的面积表示为 320 ( 3 ) A x x dx ? ???计算上面的积分得: 3209 ( 3 ) . 2 A x x dx ? ????分析:在直角坐标系下,由给定曲线所围成的面积如图【例2】*求位于曲线下方,该曲线过原点的切线 xey?的左方以及轴上方之间的图形的面积。 x所示。如果取为积分变量,则设区间 x ( , 1], x ???所对应的曲边梯形[ , ] x x dx ?就是在上“以直代曲”],[ dx xx?所形成的矩形面积。 dA 面积为则面积元素,A?考虑到当和时]0,[],[ ???? dx xx ]1,0[],[?? dx xx],[ dx xx?上所对应曲边梯形不同,所以,相对应矩形面积的表达式也不同,因此微元应该分别去求. dA 解:( 1)确定积分变量和积分区间:设切点的坐标为 M 则过原点且与相切的切线方程为: 0 0 ( , ), M x y xey? 0, x y e x ?由得的坐标为. ??????? 0 00 00x xey xeyM),1(eM故得到切线方程为. ex y?所以选取为积分变量, . x ( , 1] x ???(2)求微元:任取,则当[ , ] ( , 1] x x dx ? ???时,那么面积元素就是[ , ] [ , 0] x x dx ? ??? 1 dA区间所对应的矩形的面积, [ , ] x x dx ?(3)求定积分:所求的几何图形的面积可表示为: 0 1 1 2 0 ( ) x x A A A e dx e ex dx ??? ????? ?解上面的积分得: 0 1 01 020 ( ) lim ( ) 2 2 x x x x aa A e dx e ex dx e e e dx e x ?????? ??? ???? ??即当时,那么面积元素就是区间[ , ] [0, 1] x x dx ? ? 2 dA [ , ] x x dx ?所当对应的矩形的面积, 即 dx ex e