矢量分析.ppt

矢量及其代数运算
圆柱坐标与球坐标
矢量场*
标量场*
亥姆霍兹定理(略) 
第一章矢量分析与场论
本章主要知识点:
标量
矢量
标量场
矢量场
场
通量散度
环量旋度
方向导数
梯度
高斯散度定理
斯托克斯定理
掌握:;;
矢量分析和场分析法
矢量场的通量及散度
1. 矢量场的通量(Flux)
面元矢量:
面元外法线方向
--标量积称为矢量穿过的通量。
定义:
矢量场穿过整个曲面的通量为:
如果是一个闭合曲面,则其通量为:
通量是一个积分量。它描绘闭合面内较大范围内的发散源的分布情况。若要描述场中每一个点上源的性质,必须引入新的矢量——散度。
称此极限为矢量场在点P处的散度。
设有矢量场,在场中任一点P处作
一个包含P点在内的任一闭合曲面, 设
所限定的体积为ΔV, 当体积ΔV以任意方式缩向P点( )时, 取下列极限:
(divergence )
1) 散度定义
记作
--定义式
散度的物理意义:从点P单位体积散发的通量。
它是一个标量,它描述的是场分量沿各自方向上的变化规律。
直角坐标系中,散度的表达式为:
(1-3-12)
哈
密
顿
算
子
3) 高斯散度定理(Divergence Theorem)
即矢量场散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的
封闭曲面的总通量。
散度定理应用:将一个封闭的面积分变成等价的体积分或反之。
【例1-3】在矢量场中,有一个边长为1的立方体,它的一个顶点在坐标原点上,如图示。试求:
(1) 矢量场的散度;
(2) 从六面体内穿出的通量,并验证高斯散度定理。
解:(1) 根据散度计算公式得,
(2) 从单位立方体穿出的通量:
故从立方体内穿出的通量为2,且高斯散
度定理成立,即
矢量场的环量和旋度
(Circulation)
设有矢量场, 为场中
的一条封闭的有向曲线,则定义矢量场环绕闭合路径的
线 积分为该矢量的环量,记作
图 1-14矢量场的环量
环量是一标量,反映了闭合曲线内旋涡场的分布情况。要分析每个点附近旋涡源的分布情况,引入旋度。