函数单调性在含参数不等式恒成立中的应用(魏立国).doc

函数单调性在含参数不等式恒成立中的应用魏立国内容摘要:函数单调性在含参数不等式恒成立中的应用。1、利用“作差、作商判断函数单调性”来确定2、利用“求导法判断函数单调性”来确定。含参数不等式中字母取值范围的确定,化归为函数单调性问题。含参数不等式中字母参数取值范围的确定,一直是高考和竞赛的热点问题,也是考生最头疼的问题,本人就函数单调性在含参数不等式恒成立中的应用,例说如下:1、利用“作差、作商判断函数单调性”来确定例1,设函数,求a的取值范围,使函数f(x)在区间上单调函数。例2,已知函数,图象过A(2,1)和B(5,2)(1)求函数解析式(2)记是否存在正数k,,对一切n∈N*均成立,若存在,求出k最大值,若不存在,说明理由。(1)易求(2)分析则问题转化为对一切n∈N*是否存在k>0,使,如果存在,求出k的最大值,问题等价于是否存在大于0的最小值,令P(n)=由∴P(n)是递增函数∴即k最大值说明:例1根据函数单调性定义,把问题转化为在区间上的极限值问题,例2通过作商手段判断函数单调性,这一方法尤其在数列的单调性判定中经常使用。2、利用“求导法判断函数单调性”来确定例3,已知f(x)=x3+ax+b定义在区间[-1,1]上,且f(o)=f(1),又P(x1,y1),Q(x2,y2)是其图象上任意两点,若恒成立的a取值范围。分析:本题求a的取值范围确定,其实就是看的最大值为多少,寻找最大值,就转化为f(x)=x3+ax+b在[-1,1]上的最大值和最小值问题,由f(0)=f(1)可得b=1+a+b,a=-1,所以f(x)=x3-x+b,f/(x)=3x2-1,令f/(x)=0,x=±,当时,f/(x)>0,当时,f/(x)<0,当<x<1时,f/(x)>0,所以x=-是f(x)的极大值点,x=是f(x)极小值点,又,恒成立的a的取值范围为例4,求最大常数C,使得对满足x>0,y>0,x2+y2=1的实数,恒有x6+y6≥cxy。分析:例5,某个在ox轴正方向运动的点的横坐标为:,其中a是一个正常数,求满足对所有时,a的最小值。分析:由题设,当时,说明:例3、例4、例5的关键是如何把所求问题转化为求函数的最值问题。3、利用“一次函数和二次函数性质”来确定例6,对于恒成立,则x的取值范围。分析:问题等价于当求x的取值范围。因为x=1不符合题意,所以如果把不等式左边看作是关于m的一次函数,令,根据一次函数单调性可知,问题等价于p(0)>0即P(4)>0也就是x>3或x<-1例7,已知f(x)=lg(x+1),g(x)=2lg(2x+t),(t∈R是参数),若x∈[0,1]时,f(x)≤g(x)恒成立,求参数t的取值范围。分析:由题设恒成立,也就是恒成立。即恒成立,令问题转化为当,设单调递减,例8,已知x∈[0,1]时,不等式恒成立,求的取值范围。分析:原不等式化为恒成立,必须使f(0)>0,且f(1)>0,即,此时抛物线开口向上,对称轴方程因为,所以所以f(x)在[0,1]上最小值为顶点纵坐标,即当x∈[0,1]时,f(x)>0恒成立,充要条件是f(x)最小值取正值即f(x)>02kπ<<2kπ+2kπ<<2kπ+