应用函数单调性证明不等式(魏立国).doc

应用函数单调性证明不等式
魏立国
内容摘要:应用函数单调性证明不等式。一、利用函数单调性的性质证明不等式性质:若函数f(x)在区间D上是增函数(减函数),则对任意xi∈D,(i=1,2,…n),恒有。二、利用函数单调性证明不等式。

不等式的证明,一直是中学数学的难点,基本上每年高考和竞赛的压轴题都与不等式有关,而人们常常关注比较法、分析法、综合法、数学归纳法、放缩法等,很少人关注用函数的单调性证题,其实有些不等式的证明,如果使用函数的单调性,很容易证得,现举例如下。
一、利用函数单调性的性质证明不等式
性质:若函数f(x)在区间D上是增函数(减函数),则对任意xi∈D,(i=1,2,…n),恒有
仅证增函数情况,若f(x)在区间D上是增函数,则对任意,恒有即对任意xi∈D,(i=1,2,…n),恒有也就是
∴
∴
减函数情况同理可证。
例1,设a、b、c∈R+,求证:(第2届友谊杯国际数学邀请赛试题)。
分析:左边=可构造函数,利用性质即证
证明:构造函数,其中s=a+b+c,x∈(0,s)
由,所以f(x)在x∈(0,s)上是增函数,由性质可知,
例2,设a、b、c为正实数,且abc=1求证:
(第36届IMO)。
分析:由abc=1,原不等式可化为,由例1可知,又
,显然即证。
说明:其实例1第二届友谊杯国际数学邀请赛试题与例2第36届IMO试题本质上一样,例1更具有一般性。
例3,若ai∈R+,i=1,2,…,n, n、k均为大于1的自然数,则
证明:设即f(x)在R+是增函数,由性质可知,,重复放缩即得。
即证。
二、利用函数单调性证明不等式
例4,求证:
分析