利用函数的单调性证明不等式.doc

利用函数的单调性证明不等式
1、利用导数研究函数的单调性,再由单调性来证明不等式(函数、导数、不等式综合)
2、解题技巧是构造辅助函数,把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值,从而证得不等式,而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。
利用题目所给函数证明
例:x>0时,求证;x-ln(1+x)<0
证明:设f(x)= x-ln(1+x) (x0),
则f(x)=∵x>0时,∴f(x)<0,故f(x)在(0,+∞)上递减,
所以x>0时,f(x)<f(0)=0,即x-ln(1+x)<0成立。
例、求证:n∈N*,n≥3时,2n >2n+1
证明:要证原式,即需证:2n-2n-1>0,n≥3时成立
设f(x)=2x-2x-1(x≥3),则f(x)=2xln2-2(x≥3),
∵x≥3,∴f(x)≥23ln3-2>0
∴f(x)在[3,+∞上是增函数,
∴f(x)的最小值为f(3)=23-2×3-1=1>0
所以,n∈N*,n≥3时,f(n)≥f(3)>0, 即n≥3时,2n-2n-1>0成立,
例:f(x)=x3-x, x1,x2∈[-1,1]时,求证:|f(x1)-f(x2)|≤
证明:∵f(x)=x2-1, x∈[-1,1]时,f(x)≤0,
∴f(x)在[-1,1](x)在[-1,1]上的最大值为f(-1)=
最小值为f(1)=,即f(x)在[-1,1]上的值域为;
所以x1,x2∈[-1,1]时,|f(x1)|, |f(x2)|,
即有|f(x1)-f(x2)|≤|f(x1)|+ |f(x2)|
求证:当时,恒有
分析:构造函数,从其导数入手即可证明。
令,
当,
即在上为减函数,在上为增函数,
故函数在上的最小值为,
∴当时,,即
∴,综上可知,当
【警示启迪】如果是函数在区间上的最大(小)值,则有(或),那么要证不等式,只要求函数的最大值不超过就可得证.
2、直接作差构造函数证明
例:当时,证明不等式成立。
证明:设则
∵∴∴在内单调递减,
而∴
故当时,成立。
例: 证明不等式,其中.
证明先证
设
则
即
,即在上单调递增
再证
令
则
【例2】求证:在区间上,函数的图象在函数的图象下方;
分析:函数的图象在函数的图象的下方问题,
即,只需证明在区间上,恒有成立,设,,考虑到
要证不等式转化变为:当时,,这只要证明: 在区间是增函数即可。
【绿色通道】设,即,
则=
当时,=
从而在上为增函数,∴
∴当时,即,
故在区间上,函数的图象在函数的图象的下方。
【警示启迪】本题首先根据题意构造出一个函数(可以移项,使右边为零,将移项后的左式设为函数),并利用导数判断所设函数的单调性,再根据函数单调性的定义,证明要证的不等式。读者也可以设
做一做,深刻体会其中的思想方法。
3、换元后作差构造函数证明
【例3】(2007年,山东卷)证明:对任意的正整数n,不等式都成立.
分析:本题是山东卷的第(II)问,从所证结构出发,只需令,则问题转化为:当时,恒有成立,现构造函数,求导即可达到证明。
【绿色通道】令,
则在上恒正,
所以函数在上单调递增,∴时,恒有
即,∴