利用函数单调性证明不等式难点构造辅助函数.doc

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利用函数单调性证明不等式的难点——构造辅助函数
利用函数的单调性解决不等式问题时,根据所证不等式问题的具体情况,给出常见构造辅助函数的方法,通过实例阐述此种方法的适用范围
2009年第2期
第8卷(总第4l期),.,2009
文章编号:1671—8127f2009)02—0008—03
利用函数单调性证明不等式的难点
——构造辅助函数
贺学海
(商丘职业技术学院,河南商丘476000)
摘要:利用函数的单调性解决不等式问题时,根据所证不等式问题的具体情况,给出常见构造辅助函数的方
法,通过实例阐述此种方法的适用范围.
关键词:不等式;函数单调性;辅助函数;构造方法;适用范围
中图分类号:G64文献标识码:A
0引言
,:利用函数的单调性、中值定理法、利用泰勒公式、利用施互茨不等式、利用函数图像的凹凸性、利用函数的最值等方法,这些方法或多或少都会遇到如何构造一个辅助函数的问题,若能根据不等式的结构特征,构造出合适的辅助函数,将不等式问题化为函数问题,.
1函数的单调性
单调函数是一个重要的函数类,其单调性与导数之间的关系为:
定理1…163设函数f(X)在(a,b)内可导,则f(X)在(a,b)内递增(递减)的充分必要条件是:
f’(X)≥0(f’(x)50),X∈(a,b)
定理2…163若函数f(x)在(a,b)内可导,则f(X)在(a,b)内严格递增(递减)的充分必要条件是:
(1)对一切x∈(a,b),有f7(x)≥0(f7(X)≤0)
(2)在(a'b)内的任何子区间上f’/(x)≠0
推论设函数f(x)在(a,b)内可导,若f,(x)>0(<O),则f(x)在(a'b)内严格递增(递减).
2利用函数单调性证明不等式常用的构造辅助函数的方法
构造辅助函数的方法灵活多变,不同的知识段有着不同的技巧和方法,用函数单调性证明不等式常用的方法有:
(1)用不等式两边“求差”构造辅助函数.
(2)用不等式两边适当“求商”构造辅助函数.
(3)根据不等式两边结构,构造“形似”辅助函数.
(4)如果不等式中涉及到幂指函数形式,则可通过取对数将其化为易于证明的形式,再根据具体情况由以上所列方法构造辅助函数.
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例1证明当x>l时,2√x>3一÷
收稿日期:2009一Ol一06
作者简介:贺学海(1962一),男,河南社旗人,商丘职业技术学院副教授,主要从事数学分析教学与研究?8?一
贺学海:利用函数单调性证明不等式的难点——构造辅助函数第2期
分析利用“求差’’构造辅助函数f(x)=2压一(3一÷),x>(x)>o,而f(I)=0,因而只需证明当x>1时,f(x)>f(I).
证明令f(x):2,ff一(3一÷),则f,(x):=I一与:丢(x万一1),x4xx—x。
当x>I时,f’(x)>0,因此f(X)在[I,+∞]上单调增加,
从而当x>1时,f(X)>f(I),
又由于f(1):0,所以f(x)>f(1)>0,即2,fix一(3一上)>0.
故2压>3一上(x>1).
例2当0<x<要时,求证sinx>一2x
分析如果用“求差’’构造辅助函数f(x)=i2x—sinx,f’(x):i2一c。sx,在区间(o,i,IT)内f(x)“求商’’构造辅助函数f(x)=smxx,再根据f(x)在区间(o,詈)的单调性证明之./
证明令f(x)=警,则f,(x)=塑坚字(o<x<詈)
由x<tanx得f’(x)<o,即f(x)在(o,÷)内是严格单调递减的.
当o<x<詈时“x)>f(詈),耳11sixnx>吾,
故sinx>一2钔求证揣≤揣+尚x(o<x<要)
分析不等式两边有相同的形式—去,利用“形似”并将某个字母换成x,构造辅助函数f(x)=点
(x≥0),再利用f(x)在[1,+∞)上的单丹陛证明不等式.
证明令f(x)=—二(x≥o),显然f(x)