用函数的单调性证明不等式0.doc

用函数的单调性证明不等式0湖北省京山县第一中学 陈时中1引言单调性的概念和定义是刻画函数性质的重要工具。方程和不等式可以看作函数的特定状态,用函数的观点处理方程、不等式的有关问题,自然是情理之中的事。比如,欲证,同时,又已知间的大小关系,这时只要说明的单调性就是了。从思维的角度而言,这是函数单调性的逆运用。这样一来,原本情理之中的事情就变得不那么自然了,但是由于观点的自然,使得不等式的处理有一定规律可寻了,从而开辟了不等式证明的一条新路。事实上,应用微分中值定理证明不等式是这一观点的自然延伸,因此,在中学里提倡用函数的观点处理不等式的问题具有前瞻性。2例题例1(2001年全国高考题)已知m,n∈N*,且1<m<n,求证:.解析:本题的证明方法很多。但考虑到不等式两边结构相似,故可从函数的角度考虑。首先把不等式两边的结构变得一致,自然想到取对数,不妨取自然对数:,这时自然想到构造f(x)=,并考察它的单调性。证明:∵2≤m<n,于是构造函数f(x)=(x≥2),考察它的单调性。因为,由x≥2,得0<<1,ln(1+x)≥ln3>1,∴即f(x)为单调减函数。又2≤m<n,∴,即。例2(2004年北京高考题)已知函数g(x)=xlnx,设0<a<b,证明:0<g(a)+g(b)-2g()<(b-a)ln2。解析:由于知道的具体表达式,直接运算也是可以比较大小的。但正是由于思路的直截了当,才运算量大,几乎不能进行。俗语说“甘蔗没有两头甜”,要避免大运算量,得用点巧思。若把不等式两边看作是某个函数在某两点的取值,就可利用函数的单调性来处理了。证明:设F(x)=g(a)+g(x)-2g(),则=lnx-ln,当0<x<a时,<0,F(x)在(0,a)内单调递减;当x>a时,>0因此F(x)在(a,+∞)上单调递增。从而当x=a时,F(x)有最小值F(a)=0,而b>a,∴F(b)>0,即g(a)+g(b)-2g()>0。设G(x)=F(x)-(x-a)ln2,则,当x>0时,<0,故G(x)在(0,+∞)上为减函数。又G(a)=0,b>a,∴G(b)<G(a)=0,即:g(a)+g(b)-2g()<(b-a)ln2。例3(2004年全国高考题)已知数列的前项和,满足(),1)写出数列的前三项;2)写出数列的通项公式;3)证明对任意的整数有。分析:用函数的观点来证不等式,就要设法把调控为递减数列,而不等式的右边能与函数在某一点的值比较大小。因为,所以在调控时加上一项。证明:构造函数,令=,,当为奇数时,上式右边取最大值,故取=。这样数列是关于的递减数列,故〈〈。评注:把不等式的左边调控为单调函数后,结果反倒加强了。这样在证这样一类问题时,就有规律可循了:设法构造单调数列!从解题的角度看,单调性的确是函数的重要性质。解题也是加强数学理解的一种手段。学数