湖南省2009届高三十校联考第一次考试数学理科.doc

湖南省2009届高三十校联考第一次考试数学理科

时量:120分钟满分:150分
: 本大题共10小题,每小题5分,,只有
一项是符合题目要求的.
1. 若为实数,,则等于( )
A. B. C. D.
2. 若是实数满足, 则下列不等关系正确的是( )
A. B. C. D.
3. 已知函数是连续函数,则实数的值是( )
A. B. C. D.
4. 已知集合且,则=( )A. B. C. D.
5. 下列命题:
①若是定义在[-1,1]上的偶函数,且在[-1,0]上是增函数,,则
;
②若锐角、满足则;
③在中,“”是“”成立的充要条件;
④要得到函数的图象, 只需将的图象向左平移个单位.
其中真命题的个数有( )

6. 若函数的图象在处的切线为, 则上的点到圆上的点的最近距离是( )
A. B. C.
7. 已知是平面上不共线的三点, 是重心,动点满足
,则点一定是的( )
(非重心)

8. 三个国家分别有1名、2名、3名运动员将在某次比赛后排成一排合影留念, 要求同一个国家的任意两名运动员不能相邻, 则不同的排法有( )
A. 72种 C. 120种 D. 144种
9. 设等差数列的前项和为,已知
则下列结论中正确的是( )
A. B.
C. D.
10. 如图,在三棱锥中,⊥底面,∠=,
⊥于,⊥于, 若,∠=,
则当的面积最大时,的值为( )
A. 2 B. C. D.
: 本大题共5小题,每小题5分,.
11. 设数列满足: , 则= .
12. 定义区间的长度为,已知函数的定义域为,值域为,则区间的长度的最大值与最小值的差为.
13. 在等腰梯形中, . 设以为焦点且过的双曲线的离心率为,以为焦点且过的椭圆的离心率为, 则= .
14. 设,
其中为实常数, 则= .
2
4
15. 以下是面点师一个工作环节的数学模型:如图,在数
轴上截取与闭区间对应的线段,对折后(坐标4
所对应的点与原点重合)再均匀地拉成4个单位长度的线段,这一过程称为一次操作(例如在第一次操作完成后,原来的坐标1、3变成2,原来的坐标2变成4,等等).那么原闭区间上(除两个端点外)的点,在第二次操作完成后,恰好被拉到与4重合的点所对应的坐标是
;原闭区间上(除两个端点外)的点,在第次操作完成后(),恰好被拉到与4重合的点所对应的坐标为.
三、解答题(本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16. (本小题满分12分)
已知函数为常数).
(1)求函数的最小正周期;(2)求函数的单调递增区间;
(3) 若时,的最小值为,求的值.
17. (本小题满分12分)
已知将一枚质地不均匀的硬币抛掷三次,三次正面均朝上的概率为
(1)求抛掷这样的硬币三次,恰有两次正面朝上的概率;
(2)抛掷这样的硬币三次后,再抛掷一枚质地均匀的硬币一次,记四次抛掷后正面朝上的
总次数为,求随机变量的分布列及期望.
18. (本小题满分12分)
如图,在三棱柱中,侧面,已知.
(1)求证:;
(2)试在棱(不包含端点、)上确定一点的位置,使得;
(3) 在(2)的条件下,求二面角的平面角的正切值.
19. (本小题满分13分)
如图,已知抛物线和直线,点在直线上移动,过点作抛物线的两条切线,切点分别为,线段的中点为.
(1)求点的轨迹;(2)求的最小值;
(3)求证: 直线的倾斜角为定值,并求的值.
20. (本小题满分13分)
数列的各项均为正数,为其前项和,对于任意,总有.
(1)求数列的通项公式;
(2) 设正数数列满足,求数列中的最大项;
(3) 求证:.
21. (本小题满分13分)
(1)当时,证明不等式对恒成立;
(2)对于在区间中的任一个常数,问是否存在正数使得成立?如果存在,求出符合条件的一个;否则说明理由.
理科数学答案
一. 选择题: (50分)
题次
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
C
D
B
C
B
C
A
D
二. 填空题: (25分)
11. 12. 3
13. 1 14. 8039
15. 1, 3
三. 解答题: (75分)
16.(12分)解:(1)

∴的最小正周期. ………………