定积分与不定积分及其性质应用例题解析.docx

§4定积分的性质教学目的与要求:,难点::一定积分的基本性质性质1若f在[a,b]上可积,k为常数,则kf在[a,b]上也可积,且. (1)证当k=,由于其中J=因此当f在[a,b]上可积时,由定义,任给从而即kf在[a,b]上可积,且性质2 若f﹑g都在[a,b]可积,则f在[a,b]上也可积,且(2)证明与性质1类同。注1性质1与性质2是定积分的线性性质,合起来即为其中a﹑为常数。注2在f,g,h=f+g(或f-g)三个函数中,只要有任意两个在[a,b]上可积,则另外一个在[a,b],g,h=f+g(或f-g)三个函数中,只要有一个在[a,b]上可积,一个在[a,b]上不可积,则另外一个在[a,b]﹑g都在[a,b]上可积,则f·g在[a,b]上也可积。证由f、g都在[a,b]上可积,从而都有界,设 A= B且A>0,B>0(否则f、g中至少有一个恒为零值函数,于是f、g亦为零值函数,结论显然成立)。任给由f、g可积,必分别存在分割、,使得令(表示把、的所有分割点合并而成的一个新的分割T)。对于[a,b]上T所属的每一个,有利用§3习题第1题,可知这就证得f·g在[a,b]:有没有相除后可积的性质?若f﹑g都在[a,b]上可积,|f(x)|m>0,x[a,b],则在[a,b],由条件可证在[a,b]上可积(本节习题第7题).再由性质3知在[a,b][a,b]上可积的充要条件是:任给,在[a,c]与[c,b]上都可积。此时又有等式(3)证[充分性]由于f在[a,c]与[c,b]上都可积,故任给分别存在对[a,c]与[c,b]的分割,使得现令它是[a,b]的一个分割,且有由此证得f在[a,b]上可积.[必要性]已知f在[a,b]上可积,故任给存在对[a,b]的某分割T,使得在T上再增加一个分点C,得到一个新的分割由§3习题第一题,又有分割在[a,c]和[c,b]上的部分,分别构成对[a,c]和[c,b]的分割,记为,则有这就证得f在[a,b]和[b,c](3).为此对[a,b]作分割T,恒使点C为其中的一个分点,这时T在[a,c]与[c,b]上的部分各自构成对[a,c]与[c,b]的分割,,对上式取极限,就得到(3)(3),(3)–10所示,,记号只有当a<b时才有意义,而当a=b或a>,对它作如下规定:规定1当a=b时,令规定2当a>b时,令有了这个规定之后,等式(3)对于a、b、c的任何大小顺序都能成立。例如,当a<b<c时,只要f在[a,c]上可积,则有=性质5设f为[a,b]上的可积函数。若则(4)证由于在[a,b]上,因此f的任一积分和都为非负。由f在[a,b]上可积,则有□推论(积分不等式性)若f与g为[a,b]上的两个可积函数,且[a,b],则有(5)证令F[a,b],由性质2知道F在[a,b]上可积,且由性质5推得不等式(5)[a,b]上可积,则在[a,b]上也可积,,且(6)证由于f在[a,b]上可积,故任给ε>0,存在某分割T,使得由绝对值不等式可得知于是有从而证得在[a,b]可积。再由不等式应用性质5(推论),即证得不等式(6)成立。□注这个性质的逆命题一般不成立,例如在[0,1]上不可积(类似于狄利克雷函数);但它在[0,1]上可积。例1求其中解对于分段函数的定积分,通常利用积分区间可加性来计算,即注1上述解法中取其中被积函数在x=0处的值已由原来的由§3习题第3题知道这一改动并不影响f在[-1,0]上的可积性和定积分的值。注2如果要求直接在[-1,1]上使用牛顿一菜布尼茨公式来计算这时F(x)应取怎样的函数?读者可对照§2习题第3题来回答。例2证明:若f在[a,b]上连续,且证用反证法。倘若有某x0∈[a,b]使f则由连续函数的局部保号性,存在的某邻域,使在其中由性质4和性质5推知这与假设相矛盾。所以。□注从此例证明中看到,即使f为一非负可积函数,只要它在某一点处连续,且则必有(至于可积函数必有连续点,这是一个较难证明的命题,读者可参阅§6习题第7题.)(积分中第一中定理)若f在[a,b]上连续,则至少存在一点,使得(7)证由于f在[a,b