定积分与不定积分及其性质应用例题解析.doc

§4 定积分的性质
教学目的与要求:
1. 理解并掌握定积分的性质极其证明方法.
2. 逐步学会应用定积分的性质证明定积分的有关问题.
教学重点,难点:
1. 定积分的性质极其证明方法.
2. 应用定积分的性质证明定积分的有关问题.
教学内容:
一定积分的基本性质
性质1 若f在[a,b]上可积,k为常数,则kf在[a,b]上也可积,且
. (1)
证当k=0时结纶显然成立.
当k时,由于

其中J=因此当f在[a,b]上可积时,由定义,任给

从而
即kf在[a,b]上可积,且

性质2 若f﹑g都在[a,b]可积,则f在[a,b]上也可积,且
(2)
证明与性质1类同。
注1 性质1与性质2是定积分的线性性质,合起来即为

其中a﹑为常数。
注2 在f,g,h=f+g(或f-g)三个函数中,只要有任意两个在[a,b]上可积,则另外一个在[a,b]上可积.
在f,g,h=f+g(或f-g)三个函数中,只要有一个在[a,b]上可积,一个在[a,b]上不可积, 则另外一个在[a,b]上必不可积.
性质3 若f﹑g都在[a,b]上可积,则f·g在[a,b]上也可积。
证由f、g都在[a,b]上可积,从而都有界,设
A= B
且A>0,B>0(否则f、g中至少有一个恒为零值函数,于是f、g亦为零值函数,结论显然成立)。
任给由f、g可积,必分别存在分割、,使得

令(表示把、的所有分割点合并而成的一个新的分割T)。对于[a,b]上T所属的每一个,有


利用§3习题第1题,可知



这就证得f·g在[a,b]上可积.
注在一般情形下.
思考:有没有相除后可积的性质?
若f﹑g都在[a,b]上可积,|f(x)|m>0,x[a,b],则在[a,b]上可积.
事实上,由条件可证在[a,b]上可积(本节习题第7题).再由性质3知在[a,b]上可积.
性质4 f在[a,b]上可积的充要条件是:任给,在[a,c]与[c,b ]上都可积。此时又有等式
(3)
证[充分性] 由于f在[a,c]与[c,b]上都可积,故任给分别存在对[a,c]与[c,b]的分割,使得

现令它是[a,b]的一个分割,且有
由此证得f在[a,b]上可积.
[必要性] 已知f在[a,b]上可积,故任给存在对[a,b]的某分割T,使得在T上再增加一个分点C,得到一个新的分割由§3习题第一题,又有

分割在[a,c]和[c,b]上的部分,分别构成对[a,c]和[c,b]的分割,记为,则有


这就证得f在[a,b]和[b,c]上都可积.
在证得上面结果的基础上最后来证明等式(3).为此对[a,b]作分割T,恒使点C为其中的一个分点,这时T在[
a,c]与[c,b]上的部分各自构成对[a,c]与[c,b]的分割,

因此当时,对上式取极限,就得到(3)式成立.
注性质4及公式(3)称为关于积分区间的可加性.
当时,(3)式的几何意义就是曲边梯形面积的
– 10所示,曲边梯形AabB的面积等于
bB的面积之和.
按定积分的定义,记号只有当a<b时才
有意义,而当a=b或 a>
运用上的方便,对它作如下规定:
规定1 当a=b时,令
规定2 当a>b时,令
有了这个规定之后,等式(3)对于a、b、c的任何大小顺序都能成立。例如,当 a<b<c时,只要f在[a,c]上可积,则有

=
性质5 设f为[a,b]上的可积函数。若则
(4)
证由于在[a,b]上,因此f的任一积分和都为非负。由f在[a,b]上可积,则有
□
推论(积分不等式性)若f与g为[a,b]上的两个可积函数,且
[a,b],则有
(5)
证令F[a,b],由性质2知道F在[a,b]上可积,且由性质5推得

不等式(5)得证.
性质6 若f在[a,b]上可积,则在[a,b]上也可积,,且
(6)
证由于f在[a,b]上可积,故任给ε>0,存在某分割T,使得由绝对值不等式
可得知于是有

从而证得在[a,b]可积。
再由不等式应用性质5(推论),即证得不等式(6)成立。□
注这个性质的逆命题一般不成立,例如

在[0,1]上不可积(类似于狄利克雷函数);但它在[0,1]上可积。
例1 求其中

解对于分段函数的定积分,通常利用积分区间可加性来计算,即


注1 上述解法中取其中被积函数在x=0处的值已由原来的由§3习题第3题知道这一改动并不影响f在[-1,0]上的可积