定积分与不定积分及其性质应用例题解析.doc

定积分与不定积分及其性质应用例题解析.doc:..§4定积分的性质教学口的与要求:,难点::一定积分的基本性质性质1若f在[a,b]上可积,k为常数,则kf在[a,b]上也可积,且^>kf{<x)dx=k^f{<x)dx(1)证当k=,由于工灯点)心厂kJ;=1=\k\.±f^\x-ji=l其中J二//仗)饥因此当f在8,b]上可积时,由定义,任给Ja£>0,存在》>0,当T<M,从而 工炉(6)Ax厂M<£.即kf在[a,b]上可积,且(兀)dx=kJ=k『f(x)、g都在[a,b]可积,贝Uf士g在[a,b]上也可积,且jb[f(x)±g(x^dx=jbf(x)dx±/3jbg(x)。注1性质1与性质2是定积分的线性性质,合起来即为其中3、0为常数。注2在f,g,h二f+g(或f-g)三个函数中,只耍有任意两个在Ea,b]_上可积,则另外一个在[a,b],g,h=f+g(或f-g)三个函数中,只要有一个在[a,b]上可积,一个在[a,b]上不可积,则另外一个在[a,b]、g都在[a,b]上可积,则f・g在[a,b]上也可积。证由f、g都在[a,b]上可积,从而都有界,设A=SUp|/(x)|,B=sup|g(x)且A>0,B>0(否则f、g中至少冇一个恒为零值函数,于是f、g亦为零值函数,结论显然成立)。任给£>o,i±f、g可积,必分别存在分割厂、r,使得令丁=T'¥T(表示把厂、:T的所有分割点合并而成的一个新的分割T)。对于[a,b]上T所属的每一个有=supssup[\g(z*)H/(/)-f(z)|+1/(/)臨(/)一g(/)<Bco-+§3习题第1题,可知工〃仏%< +A工硝<B^+A^=£^这就证得f・g在[a,b]±)g(z)必丰r血眩•(役仗) Ja Ja思考:有没有相除后叮积的性质?若f、g都在[a,b]上可积,|f(x)|nm>0,xw[a,b],则区在[a,b]±可积.•丿事实上,由条件可证丄在[a,b]上可积(木节习题第7题)•再由性质3知$二丄•g在[a,b][a,b]上可积的充要条件是:任给cw[a,b],在[弘c]与[c,b]上都可积。此时乂有等式f{x)dx=\Cf{x)dx^T^f{x)dx(3)证[充分性]由于f在[a,c]与[c,b]上都可积,故任给£〉0,分别存在对[a,c]与[c,b]的分割厂与厂,使得工硏T、 / 厂 Z现令卩=厂+厂,它是[a,b]的一个分割,冃有X恥上=E泌4几+工心*v&丁 TTf由此证得f在[a,b]上可积.[必要性]已知f在[a,b]上可积,故任给£>0,存在对[a,b]的某分割T,使得工C△尤<£・在T上再增加一个分点C,得到一个新的分割厂•由§3习题第一题,T乂有工心力;匕工恥乙<£•r t分割厂在[a,c]和[c,b]上的部分,分别构成对[a,c]和[c,b]的分割,记为厂和厂,则有厂 T*2>:・△力工砂△/;V。厂 F这就证得f在[a,b]和[b,c](3).为此对g,b]作分割T,恒使点C为其中的一个分点,这时T在[a,c]与[c,b]上的部分各口构成对[a,c]与[c,b]的分割,/(§)△%=工/(口)△力:+工/⑷必丁 丁1因此当卩IIT0,(同时有卩||T0,||Tn||T0)时,对上式取极限,就得到⑶⑶/(%)>0时,(3)式的几何意义就是曲边梯形面积的可加性•如图9-10所示,,记号f{x)dx只有当a<b时Ja才有意义,而当a=b或a>,对它作如下规定:规泄1当a二b时,令£f(x)dx=0;规定2当a>b时,令£f(x)dx=-^f(x),等式(3)对于a、b、c的任何大小顺序都能成立。例如,当a<b<c时,只要f在[a,c]上可积,则有£f(x)dx+『/(x)必=^f(x)dx+£f{x)dx^-£f\x)dx二Jf{x)[a,b]上的可积函数。若/(X)>O,XG[\则f(x)dx>(4)证由于在[a,b]±/(/)>0,因此/*的任一积分和都为非负。由f在[a,b]上可