[数学名著].[微分几何讲义]（陈省身）.pdf

徽分漫形一00
微分流形的定义
切宇间8

Frobeaias定珑、.,29

第五章
8
2
晓3
外徽分e65
65
73
85
92
外徽分
外微分式的积分.
Stokes伟式
连结coceccoceceneseeneenL01
矢最从上的逄络。100
仿射逛络..0212
标架丝上的这络.,122
黎霭漫形20132
黎晃儿何的基本定即、,132
测地法坐标,142

蒙GaussBoanet家理
晓5完全性。
第六章李群和活动标架法
振标
$2李氏变振莉。
不3活动标架法
4幼面论
第七章复溪形e
.229
心235
244
.253
1复流形.
$2矢量空间上的复结构
3近复流形
$4复矢塔伊上的连络.
明5Hermite流形和K&hler濂狄心
郭
E
1
切线回转定理.
四顶点定理....
宏间肌线的变形
吴红东皇b不
附春二微分几何与理论物理0
参考文献.
年商曲线的等周不等
宏间曲线的全曲率
GaussBormet公式
CohnVossen和Minkowski的陵一性定理
关于承小曲面的Bernsteia定理火.
161
171
.183
欧民空间中的个线和其面
,273
183
.195
208
219
229
265
273
280
282
心286
293
.296
303
.310
CS14
321
第一章微分流形
$1微分流形的定义
流形的概念是欧氏宏间的推广。粗略地说,流形在孰一点的
近傍和欧氏宏间的一个开集是同胜的,因此在每一点的近傍可以
引进局部坐标系。浇形正是一块块欧珑空间粘起来的结果。
我们用R表示实数域。设
氓力二x二xx1E尿,1二i乐m,
即Rm是圣体有序的见个实数所形成的数组的集合,实数xt称为
点xER的第i个坐标,对于任意的x,yERm,aER,命
{鬓+y=鬣十
ax1二axty
这样就在Rm中定义了加法和对实数的乘法,使Rm成为实数域
R上的力维矢量宏间。
空间Rm脖上述线性构造外,还有典型的抓扑构造,对x,9
ERm,命
1一
32#==+、。
t
容易验证,丽数4x,9满足下面三个条仲
14x,之0,且等号只在x一y时成立
2dx,旭二4y,y
3对任意的x,y,zCR,有不等式
一r0十一y,2乌dxo2。
所以4x,是R中的距离丽数,使R成为度量定间,作为度
量空间,R有自然的拓扑结构九以开球B;r二{4ER4x,9
D关于拓扑学的培本慨念,可睦,江注诚唤拓扑学引论5,上海科学技术出
版社,1978年版
2
一xER,r又0的并集为开集。以3为武禅丽数的m维矢量
城间R称为口维欧氏尚闻。
设了是定义在开集口CCR上的实丽数,如果千的所有宇到r
阶的儒导数郯存在并且连续,则称久是r灯可微的,武称了是
C的,这里7可以是所有的正整数,如果有任意阶的这续儋
导数,则称了是C的。如果一是解析的,也就是么在口的钗一
点的一个邻域内能表成收欲的帽级数,则记乃是C*的。
。若对任意一点xEM,都
有x在办中的一个邻基厂同胚于见维欧氏窑间R的一个开集,
则秘奶是一个力维流形或拓扑流形。
*poU,这里pu口
是R中的开集,则称U,go是M的一个坐标卡。因为po是同
胚,对任意一点VEU,可以把u9ER的坐标定义为y的坐
标,即命
47二po日8ED,i一DvImy
我们称u11不!之9为点E一的局部坐标。
设U,go和Y,gv是流形仪的两个坐标卡,若口Y孙,
则goUV和gv4UY是尺中两个非空的开集,并且映射
pveg5lsutonrsgoURYVgyURV
建立了这两个开集之间的同胜,其逗映射就是9oe71avcony。
因它们是从欧氏宣间
的一个开集到另一个
开集的映射,所以用
坐标表示时9yo95
和poo85分别表为
欧氏崔间的开集上的
人个实靥数见图
1
C5张二月Crlx00二gyo851Crlx
xoX仁口月人
C6妮二gy8二gua8F1p807
yo80Egv巳月刀。
因为gvo5和g。cg5是互逗的同胜眨射,所以乙和g都是
连续函数,并且
厕gy08口y二3
94朋G技Cpln8二
我们称两个坐标卡tU,po和Y,gv是C相容的,如果U
Y一,或耆在口Y不切时坐标变换函数一xox和
.
。如果在X上给定了一个坐
标卡集w二{U,po,V,gy,HW,gj},满足下列条件,则

1{U,Y,仁,j是史的一个开复盖

3吉是极大的,即对于刊的任意一个坐标卡0,95,如
,期它自身必属
于。
若在M上