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陈省身在几何上的贡献

5月13日哈佛大学
纪念陈省身几何学国际会议

嘉当(E. Cartan)是微分几何的祖父!

陈省身是现代微分几何之父!
他们合力创造了一门美妙而丰富的学科,影响遍及数学与物理的每个分支。
在去世前,陈说他就要去见古希腊的那些伟大的几何学家了。
毫无疑问,他的成就堪与这些大几何学家比肩。
几何学发展史上的重要事件:
毕达哥拉斯: 毕达哥拉斯定理。
(约公元前580-500)
欧几里德: 欧氏几何公理。
(约公元前330-275)
阿基米德: 无穷过程,圆锥曲线。
(约公元前287-212)
笛卡尔: 引入坐标,诞生解析几何,代数与几何走向融合。
(1596-1650)
笛沙格: 射影几何。
(1591-1661)
费马: 变分原理。
(1601-1665)
牛顿: 微积分。
(1642-1727)
莱布尼兹: 微积分
(1646-1727)
欧拉: 组合几何,变分法。
(1701-1783)
高斯: 内蕴几何。
(1777-1885)
黎曼: 1854年在为取得教师职位所作的演讲中提出了的黎曼几(1826-1866) 何的思想。
索菲斯· 李: 变换群,切触几何。
(1842-1899)
: 1872年宣布埃尔朗根纲领,把几何定义为研究各种变换(1847-1925) 群作用下的空间。
射影直射变换群是最广泛的群。对应的几何是射影几何。主要的贡献者包
括:
彭赛列(. Poncelet)(1788-1867)
莫比乌斯(1790-1868)
沙勒(M. Chasles)(1793-1880)
斯坦纳(1796-1863)
其他的几何还有仿射几何与共形几何。
安德雷· 韦伊:
几何直观真正的心理动因也许永远无法搞清。……不论如何,如果没有E. 嘉当、H. 霍普夫、陈省身和另外少数几个人的几何直观,我们这个时代的数学就不会取得如此大的进展。可以肯定地说,只要数学还像以前那样发展,我们总是需要这样的人物。
现代微分几何的诞生
嘉当继高斯和黎曼之后完成了为现代微分几何奠基的工作。把他的关于李群和微分方程组不变量理论结合起来,他引入了现代规范理论。
嘉当定义了广义空间,包括了克莱因的齐性空间与黎曼的局部几何。用现代术语来说,就是“纤维丛上的联络”。这推广了列维-齐维塔平行性。

一般而言,我们有一个纤维丛,其纤维是有李群作用的齐性空间。一个联络就是纤维上与群作用相容的无穷小移动。
格拉斯曼引入了外形式,而嘉当引进了外微分运算。他的Pfaff方程组理论和延拓理论创造了可以用来解决几何中等价问题的不变量。

嘉当用活动标架构造不变量的观点对陈省身有很深的影响。
H. 霍普夫
霍普夫最早从事微分拓扑的研究,比如流行上的向量场。他的学生斯蒂费推广了霍普夫的定理,得到了斯蒂费-惠特尼示性类。
1925年,霍普夫在他的论文中研究了超曲面情形底高斯-博内定理。1932年,霍普夫强调指出被积函数可以写成关于黎曼曲率张量分量的多项式。
这些工作深刻影响了陈省身后来的工作。

陈省身:整体内蕴几何之父
陈省身:黎曼几何及其推广有局部的特征。让我感觉很神秘的是,我们需要一个整体的空间把每个邻域接合起来。这可以用拓扑来完成。

嘉当和陈省身都看到了纤维丛在微分几何中的重要性。
当然,许多大数学家都研究过整体微分几何:
科恩-弗森(Cohn-Vossen)
闵可夫斯基
希尔伯特
外尔
可是他们的工作主要局限在三维欧氏空间中的曲面的整体性质。
陈在内蕴几何与代数拓扑之间建立了桥梁。(嘉当的工作本质上更加的强调局部,除了他在对称空间方面的工作。)

陈省身接受的教育
(清华大学)
大学本科时,他学习了:
库利芝(Coolidge)的书:《非欧几何》,《圆周与球面的几何》。
沙尔蒙(W. Salmon)的书:《圆锥曲线》,《立体解析几何》。
Castelnuovo的书:《解析几何与射影几何》。
Otto Stande的书:《线构造》(Fadenkonstruktionen)。
他的老师孙鎕研究射影微分几何(由魏尔钦斯基(. Wilczynski)于1901年创立,这一领域的重要人物有富比尼,切赫(E. Cech))。

陈的硕士论文是关于射影线几何,即研究三维射影空间中所有直线组成的空间的超曲面。他研究了线汇,即线的二维子流形以及它们的通过二次线体的密切。
陈省身接受的教育
(布拉施克)
1932年,布拉施克访问北京。他作了题为『微分几何中的拓扑问题』的演讲,主要讨论了微分同胚伪群及其局部不变量。
陈省身开始考虑整体微分几何