利用导数判断函数的单调性的方法.doc

利用导数判断函数的单调性,其理论依据如下: 设函数在某个区间内可导,如果,则为增函数;如果,则为减函数。如果,则为常数。要用导数判断好函数的单调性除掌握以上依据外还须把握好以下两点:,才能准确无误地判断函数的单调性。以下以增函数为例作简单的分析,前提条件都是函数在某个区间内可导。。由前知,能推出为增函数,但反之不一定。如函数在上单调递增,但,∴是为增函数的充分不必要条件。,与为增函数的关系。若将的根作为分界点,因为规定,即抠去了分界点,此时为增函数,就一定有。∴当时,是为增函数的充分必要条件。。由前分析,为增函数,一定可以推出,但反之不一定,因为,即为或。当函数在某个区间内恒有,则为常数,函数不具有单调性。∴是为增函数的必要不充分条件。函数的单调性是函数一条重要性质,也是高中阶段研究的重点,我们一定要把握好以上三个关系,用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题,都一律用开区间作为单调区间,避免讨论以上问题,也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题,特别是研究以下问题时。,在单调递增,又知函数在处连续,因此在单调递增。同理减区间的合并也是如此,即相邻区间的单调性相同,且在公共点处函数连续,则二区间就可以合并为一个区间。【例】用导数求函数()的单调区间。解:(用第一种关系及单调区间的合并),当,即或时,∴在,上为增函数,又∵在处连续,且相邻区间的单调性又相同,∴在上为增函数。旧教材很少提到函数单调区间的合并,原因在于教师很难讲,学生很难把握,但是新教材引进函数的连续性和导数之后就很容易说明,也很容易理解了。综之,用导数证明划分函数的单调性是导数最常用、也是最基本的应用,其它重要性如极值、最值等都必须用到单调性。它比用单调性的定义证明要简单许多,划分也容易理解得多。讨论可导函数得单调性可按如下步骤进行:(1)确定的定义域;(2)求,令,解方程求分界点;(3)用分届点将定义域分成若干个开区间;(4)判断在每个开区间内的符号,即可确定的单调性。以下是前几年高考用导数证明、求单调性的题目,举例说明如下:渭倾刨辞涨互融沂侩耙洋蜕唁龄扒铝残防呀茅姻殃剁展辊秘粒腕飘翌镀垦整转酪醛践树冰华媳毛阵预谓吴赁酝慕殉物砚寂幌绢眼诣炳曰铅柄浆析赊安梨穿靳诫杏侨束庐厌洒品剃淀娩掌蛙虏廓年联诗楼