离散小波变换.doc

长期以来,离散小波变换(DiscreteWaveletTransform)在数字信号处理、石油勘探、地震预报、医学断层诊断、编码理论、量子物理及概率论等领域中都得到了广泛的应用。各种快速傅氏变换(FFT)和离散小波变换(DWT)算法不断出现,成为数值代数方面最活跃的一个研究领域,而其意义远远超过了算法研究的范围,进而为诸多科技领域的研究打开了一个崭新的局面。本章分别对FFT和DWT的基本算法作了简单介绍,若需在此方面做进一步研究,可参考文献[2]。离散小波变换DWT离散小波变换DWT及其串行算法 先对一维小波变换作一简单介绍。设f(x)为一维输入信号,记,,这里与分别称为定标函数与子波函数,与为二个正交基函数的集合。记P0f=f,在第级上的一维离散小波变换DWT(DiscreteWaveletTransform)通过正交投影Pjf与Qjf将Pj-1f分解为:其中:,,这里,{h(n)}与{g(n)}分别为低通与高通权系数,它们由基函数与来确定,p为权系数的长度。为信号的输入数据,N为输入信号的长度,L为所需的级数。由上式可见,每级一维DWT与一维卷积计算很相似。所不同的是:在DWT中,输出数据下标增加1时,权系数在输入数据的对应点下标增加2,这称为“间隔取样”。:c0=d0(c00,c10,…,cN-10) h=(h0,h1,…,hL-1) g=(g0,g1,…,gL-1)输出:cij,dij(i=0,1,…,N/2j-1,j≥0)Begin (1)j=0,n=N (2)While(n≥1)do ()fori=0ton-1do ()cij+1=0,dij+1=0 ()fork=0toL-1do endfor endfor ()j=j+1,n=n/2 endwhileEnd显然,(N*L)。在实际应用中,pactlySupportedWavelets),这时相应的尺度系数和小波系数都是有限长度的,不失一般性设尺度系数只有有限个非零值:h1,…,hN,N为偶数,同样取小波使其只有有限个非零值:g1,…,gN。为简单起见,设尺度系数与小波函数都是实数。对有限长度的输入数据序列:(其余点的值都看成0),它的离散小波变换为:其中J为实际中要求分解的步数,最多不超过log2M,其逆变换为注意到尺度系数和输入系列都是有限长度的序列,上述和实际上都只有有限项。若完全按照上述公式计算,在经过J步分解后,所得到的J+1个序列和的非零项的个数之和一般要大于M,究竟这个项目增加到了多少?下面来分析一下上述计算过程。j=0时计算过程为不难看出,的非零值范围为:即有个非零值。的非零值范围相同。继续往下分解时,非零项出现的规律相似。分解多步后非零项的个数可能比输入序列的长度增加较多。例如,若输入序列长度为100,N=4,则有51项非零,有27项非零,有15项非零,有9项非零,有6项非零,有4项非零,有4项非零。这样分解到6步后得到的序列的非零项个数的总和为116,超过了输入序列的长度。在数据压缩等应用中,希望总的长度基本不增加,这样可以提高压缩比、减少存储量并减少实现的难度。可以采用稍微改变计算公式的方法,使输出序列的非零项总和基本上和输入序列的非零项数相等,并且可以完全重构。这种