高中数学第一讲不等式和绝对值不等式12绝对值不等式121绝对值三角不等式课堂.doc

高中数学第一讲不等式和绝对值不等式12绝对值不等式121绝对值三角不等式课堂.doc:..、利用绝对值三角不等式证明不等式【例1】己知|x-a|<—^―,0<|y-b|<—-—,yW(0,M),求证:|xy-ab|< 2\a\思路分析:由于题设和结论相差很远,为了能整体运用上条件,:Ixy-ab|二|xy-ya+ya-ab|=|y(x-a)+a(y-b)|W|y||x-a|+|a||y-b|<M■ £+|a|■—-—2M 2\a\温馨提示先“配凑”再利用绝对值三角不等式进行转化,从而整体运用条件,这是证题的关键.【例2】求证:上也一V上L++卫丄(abHO).1+1a+纠1+1QI11纠证明:右边〉⑷ + ⑹ = —,1+|°|+|纠1+|q|+|纠1+|q|+|纠I+]⑷+丨纠左边二——: , +1Ia+b|・・・|a+b|W|a|+|b|,\a+b\\a\+\b\|6z+/?|+1-|6z|+|M+k从而有——j W : —+1 +1\a+b\\a\+\b\・・・左边〈,再转化用绝对值三角不等式与左边“挂钩”•也可构造函数f(x)二亠1+兀在xW[O,+-)±f(x)单调递增,⑷<:|凹|+卜2证明:先证必要性.…I,,a+ba-b厂2/.|a.|<|b|=|—a~b2|b|<.⑴当小⑹时,如,即魚)(ag。,此时字与乎同号或其中之-为。,则a+b~T~a-b~T~|=|a|<c.⑵当⑷〈⑹时即(a+b)Z即罟与罟异号,ci+b"T"a-b"T~a+ba-b...——1=b|〈c・2・••当|a|<c,|b|<c时,|"+"2故字变式提升1—_—|<cO|a|〈c且|b|〈\a-\-b+c\<已知a、b、c^R,求证:1+|d+/?+c|旦+—+—1+|a| 1+1/?| 1+|c|\b\x I证明:设f(x)=——=1—- (x$O),l+x 1+x可知当xMO时,f(x)|a+b+c|W|a|+|b|+|c|,Ml也丨+丨创+2|・•・f(|a|+1b|+1c|)Mf(|a+b+c|),|a+Z?+c|v1+1a+b+c| l+|a|+|纠+|c| l+|a|+|b|+|c|\b\|d|+l+|d|+|纠+|c|+l+|d|+|纠+|c| l+|d| 1+16 l+|c|二、应用绝对值三角不等式等号成立的条件解题【例3】⑴设a、bWR且|a+b+l|Wl,|a+2b+4|W4,求|a|+|b|:|a+b|=|(a+b+l)T|W|a+b+1|+|-1|<1+1=2,|a-b|=|3(a+b+1)-2(a+2b+4)+5|W3|a+b+l|+2|a+2b+4|+5W3X1+2X4+5=16.⑴当abNO时,|a|+|b|二|a+b|W2;(2)当ab<0吋,则a(-b)>0,|a|+1b|=|a|+1-b|=|a+(~b)|W16・总之,恒有|a|+|b|W16・而a=8,b=-8时,满足|a+b+11=1,|a+2b+4|=4,且|a|+|b|=|a|+|b|的最大值为16.(2)若f(x)=x2