切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理.doc

切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段[学习目标],这点和切点之间的线段的长度,“切线长”是切线上一条线段的长,具有数量的特征,而“切线”是一条直线,它不可以度量长度。,应明确(1)若已知圆的两条切线相交,则切线长相等;(2)若已知两条切线平行,则圆上两个切点的连线为直径;(3)经过圆外一点引圆的两条切线,连结两个切点可得到一个等腰三角形;(4)经过圆外一点引圆的两条切线,切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补;(5)圆外一点与圆心的连线,平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。:顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角。直线AB切⊙O于P,PC、PD为弦,图中几个弦切角呢?(四个):弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。:圆周角,圆心角,弦切角,圆内角,圆外角。,可联想“角”弦切角,“线”切线的性质定理及切线长定理。 结论证法相交弦定理⊙O中,AB、CD为弦,·PB=PC·、BD,证:△APC∽△⊙O中,AB为直径,CD⊥=PA·⊙O中,PT切⊙O于T,割线PB交⊙O于APT2=PA·PB连结TA、TB,证:△PTB∽△PAT切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线,交⊙O于A、CPA·PB=PC·PD过P作PT切⊙O于T,用两次切割线定理圆幂定理⊙O中,割线PB交⊙O于A,CD为弦P'C·P'D=r2-OP'2PA·PB=OP2-r2r为⊙O的半径延长P'O交⊙O于M,延长OP'交⊙O于N,用相交弦定理证;:过一定点P向⊙O作任一直线,交⊙O于两点,则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||(R为圆半径),因为叫做点对于⊙O的幂,所以将上述定理统称为圆幂定理。【典型例题】,正方形ABCD的边长为1,以BC为直径。在正方形内作半圆O,过A作半圆切线,切点为F,交CD于E,求DE:AE的值。图1解:由切线长定理知:AF=AB=1,EF=CE设CE为x,在Rt△ADE中,由勾股定理∴,,例2.⊙O中的两条弦AB与CD相交于E,若AE=6cm,BE=2cm,CD=7cm,那么CE=_________cm。图2解:由相交弦定理,得AE·BE=CE·DE∵AE=6cm,BE=2cm,CD=7cm,,∴,即∴CE=3cm或CE=4cm。故应填3或4。点拨:相交弦定理是较重要定理,结果要注意两种情况的取舍。,PCB是圆的割线,则________。解:∵∠P=∠P∠PAC=∠B,∴△PAC∽△PBA,∴,∴。又∵PA是圆的切线,PCB是圆的割线,由切割线定理,得∴,即,故应填PC。点拨:利用相似得出比例关系式后要注意变形,推出所需结论。,P是⊙O外一点,PC切⊙O于点C,PAB是⊙O的割线,交⊙O于A、B两点,如果PA:PB=1:4,PC=12cm,⊙O的半径为10cm,则圆心O到AB的距离是___________cm。图3解:∵PC是⊙O的切线,PAB是⊙O的割线,且PA:PB=1:4∴PB=4PA又∵PC=12cm由切割线定理,得∴∴,∴∴PB=4×6=24(cm)∴AB=24-6=18(cm)设圆心O到AB距离为dcm,由勾股定理,得故应填。,AB为⊙O的直径,过B点作⊙O的切线BC,OC交⊙O于点E,AE的延长线交BC于点D,(1)求证:;(2)若AB=BC=2厘米,求CE、CD的长。图4点悟:要证,即要证△CED∽△CBE。证明:(1)连结BE(2)。又∵,∴厘米。点拨:有切线,并需寻找角的关系时常添辅助线,为利用弦切角定理创造条件。,AB为⊙O的直径,弦CD∥AB,AE切⊙O于A,交CD的延长线于E。图5求证:证明:连结BD,∵AE切⊙O于A,∴∠EAD=∠ABD∵AE⊥AB,又AB∥CD,∴AE⊥CD∵AB为⊙O的直径∴∠ADB=90°∴∠E=∠ADB=90°∴△ADE∽△BAD∴∴∵CD∥AB∴AD=BC,∴,PA、PC切⊙O于A、C,PDB为割线。求证:AD·BC=CD·AB图6点悟:由结论AD·BC=CD·AB得,显然要证△PAD∽△PBA和△PCD∽△PBC证明:∵PA切⊙O于A,∴∠PAD=∠PBA又∠APD=∠BPA,∴△PAD∽△PBA∴同理可证△PCD∽△PBC∴∵PA、PC分别切⊙O于A、C∴PA=PC∴∴AD·BC=DC·,在直角三角