三角函数知识点总结及同步练习.doc

、任意角和弧度制1、角的概念的推广定义:一条射线OA由原来的位置,绕着它的端点O按一定的方向旋转到另一位置OB,就形成了角,记作:角或可以简记成。注意:(1)“旋转”形成角,突出“旋转”(2)“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于轴正半轴(3)“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。2、角的分类:由于用“旋转”定义角之后,角的范围大大地扩大了。可以将角分为正角、零角和负角。正角:按照逆时针方向转定的角。零角:没有发生任何旋转的角。负角:按照顺时针方向旋转的角。3、“象限角”为了研究方便,我们往往在平面直角坐标系中来讨论角,角的顶点合于坐标原点,角的始边合于轴的正半轴。角的终边落在第几象限,我们就说这个角是第几象限的角角的终边落在坐标轴上,则此角不属于任何一个象限,称为轴线角。4、常用的角的集合表示方法<1>、终边相同的角:(1)终边相同的角都可以表示成一个0°到360°的角与个周角的和。(2)所有与a终边相同的角连同a在内可以构成一个集合即:任何一个与角a终边相同的角,都可以表示成角a与整数个周角的和注意:1、2、是任意角3、终边相同的角不一定相等,但相等的角的终边一定相同。终边相同的角有无数个,它们相差360°的整数倍。4、一般的,终边相同的角的表达形式不唯一。<2>、终边在坐标轴上的点:终边在x轴上的角的集合:终边在y轴上的角的集合:终边在坐标轴上的角的集合:<3>、终边共线且反向的角:终边在y=x轴上的角的集合:终边在轴上的角的集合:<4>、终边互相对称的角:若角与角的终边关于x轴对称,则角与角的关系:若角与角的终边关于y轴对称,则角与角的关系:若角与角的终边在一条直线上,则角与角的关系:角与角的终边互相垂直,则角与角的关系:二、弧度与弧度制<1>、弧度与弧度制:弧度制—另一种度量角的单位制,它的单位是rad读作弧度定义:长度等于的弧所对的圆心角称为1弧度的角。orC2rad1radrl=2roAAB如图:ÐAOB=1rad,ÐAOC=2rad,周角=2prad注意:1、正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数,零角的弧度数是02、角a的弧度数的绝对值(为弧长,为半径)3、用角度制和弧度制来度量零角,单位不同,但数量相同(都是0)用角度制和弧度制来度量任一非零角,单位不同,量数也不同。4、在同一个式子中角度、弧度不可以混用。<2>、角度制与弧度制的换算弧度定义:对应弧长等于半径所对应的圆心角大小叫一弧度角度与弧度的互换关系:∵360°=rad180°=rad∴1°=注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,、弧长公式和扇形面积公式;、三角函数定义如图,设锐角的顶点与原点重合,始边与轴的正半轴重合,,它与原点的距离)。(1)比值叫做的正弦,记作,即;(2)比值叫做的余弦,记作,即;(3)比值叫做的正切,记作,即;(4)比值叫做的余切,记作,即;(5)比值叫做的正割,记作,即;(6)比值叫做的余割,记作,、三角函数的定义域、值域①的始边与轴的非负半轴重合,的终边没有表明一定是正角或负角,以及的大小,只表明与的终边相同的角所在的位置;②根据相似三角形的知识,对于确定的角,六个比值不以点在的终边上的位置的改变而改变大小;③当时,的终边在轴上,终边上任意一点的横坐标都等于,所以与无意义;同理,当时,与无意义;④除以上两种情况外,对于确定的值α,比值、、、、、分别是一个确定的实数,所以正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是以角为自变量,一比值为函数值的函数,以上六种函数统称为三角函数。三角函数的定义域、,以及各象限内点的坐标的符号,我们可以得知:①正弦值对于第一、二象限为正(),对于第三、四象限为负();②余弦值对于第一、四象限为正(),对于第二、三象限为负();③正切值对于第一、三象限为正(同号),对于第二、四象限为负(异号).说明:若终边落在轴线上,则可用定义求出三角函数值。为正全正为正为正四、诱导公式1、由三角函数的定义,就可知道:终边相同的角三角函数值相同。即有:,,其中.,这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0~、三角函数诱导公式()的本质是:奇变偶不变(对而言,指取奇数或偶数),符号看象限(看原函数,同时可把看成是锐角).诱导公式的应用是求任意角的三角函数值,其一般步骤:(1)负角变正角,再写成2k+,;(2)转化为锐角三角函数五、三角函数线的定义:(Ⅳ)(Ⅱ)(Ⅰ)(Ⅲ)设任意角的顶点在原点,始边与轴非负半轴重合,终边与单位圆相交与点,过作轴的垂线,垂足为;过点作单位圆的切线,它与角的终