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第卷第期经济数学
年月
一类延迟更新风险模型的破产概率‘
王伟刘再明
中南大学数学科学与计算技术学院,长沙,
摘要本文考虑了一类特殊的延迟更新孚险模型—发生第一次索赔的时间服从指数分布的延迟更新风
险模型在这样的条件下,利用一贴现罚函数推导出了保险公司的破产概率
关键词延迟更新风险模型,指数分布,一贴现罚函数,破产概率
背景介绍及模型描述
风险理论方面的研究一直是数学界和保险界关注的热点问题,而其核心问题就是关于破
产概率的研究自世纪以来,这方面的研究已经有了长足的发展,新的模型和方法层出不
穷在的书中,对于经典风险模型、更新风险模型普通更新风险模型、平稳更新风险
模型、风险模型进行了详细的探讨,主要用到了更新方法、鞍方法等一些技巧而本文则
利用一贴现罚函数得到了一类特殊的更新风险模型的破产概率的表达式
本文研究的更新风险模型为第一次索赔的时间间隔服从指数分布的延迟更新风险模型,
它可以看作是经典风险模型复合模型的一个直接推广
模型的描述如下
,“一艺‘,,妻。
其中,表示保险公司在时刻的盈余,“为保险公司的初始资本,‘为保费收人率,是一个
一
常数, 表示到时刻发生索赔的次数,即, ⋯,镇, ,

其中,表示初始时刻到发生第一次索赔的时间间隔, 、表示第一次索赔和次索
赔的时间间隔,并且, 是相互独立的随机变量序列,丈, 有相同的分布,
为相互独立的随机变量序列,且与独立
我们用表示的概率密度函数。,表示其分布函数。。在本文中假设
一, , 的为镇一,,其为
并且假设一丁“,,一‘‘‘,的·‘为尸·,镇一,且

二另外,为了保证保险公司安全运营,假设夕一
一少·’“‘
国家自然科学基金资助项目
收稿日期一一·
一一经济数学第卷
破产概率的推导
年,和引入了一贴现罚函数〕用,表示破
产时刻,其中如果对于所有,都有,,则二最终破产概率为少,二
发生
,,,其中,为示性函数,即,一‘, 如果破产发生,用叮表示破
, 不发生
产前的瞬时盈余,,表示破产赤字,则相应的一贴现罚函数为
,‘一物价厂,,,,帕。。
其中,占为贴现因子,,为与有关的非负函数,二,
对于普通更新风险模型,有,因此,变为
广脚钾一一“厂,的呷。一
下面的定理对于一般的延迟更新风险过程,建立了,。与。的关系
定理,,。,。如,。所定义,,。表示一般的延迟更新风险过程所
对应的第一次索赔时间间隔的,则有
,占·一丁二一“··,,‘,·‘,‘
其中。衬一。卜··丁厂叨艺,一,·,·
证明令表示发生第一次索赔的时刻舟表示第一次的索赔额分以下两种情况
第一次索赔没有导致破产
第一次索赔导致破产
对应于,由于没有破产,而第次’,,⋯索赔时刻对应于普通更新风险过程,且
在时刻之前的瞬时盈余为‘,则
「叨、, ,、「“, , 、,。,一
‘,“、“’。己“‘,、‘勺。八十“‘一之’,、少石,
对应于,由于导致破产,所以为破产时刻,则
,古·卜了一‘,·才丁, 一
综合、,就得到二
在中,利用积分变量替换,得到
。。。一工一。一。卜··,。,。匕型、,
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对于普通更