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第卷第期经济数学
年月
双二项风险模型的破产概率
高明美
青岛大学数学系,青岛
赵明清
山东科技大学信息科学与工程学院,泰安
王建新
青岛科技大学数理系,青岛
摘要经典的复合二项风险模型是假定保险公司按照单位时间常数速度收取保费,本文在考虑保费收取
次数服从二项分布的基础上讨论盈余的性质,并给出关于破产概率的一个定理,得到破产概率的一个上限
关键词盈余,保费,赔付额,风险模型,破产概率
引言
在经典的复合二项风险模型中,保险公司按照单位时间常数速率取得保单假定每张保单
的保费相等,但在实现生活中,不同单位时间所收取的保单数常常不一样,是一个随机变量,
可能服从某一离散分布根据这一实际情况,本文将复合二项风险模型中的保费收取次数过程
推广为二项过程,并在上基础上讨论盈余的性质,给出关于破产概率的一个定理,得到破产概
率的一个上限
双二项风险模型
考虑保费收取次数服从二项分布的情形,并给出如下假设
在时间,内收取的保费次数,全。服从参数为的二项分布,且
在时间〔,内的索赔总额一艺、是一个复合二项随机序列,其参数为厂,个
体索赔额的分布函数为尸
随机序列,全。与,全相互独立
每次保费收入为常数。
在上述假设下,保险公司在时间的盈余
一
由于上述风险模型包含两个二项随机序列,故称该模型为双二项风险模型
记表示破产发生的时刻,则少为破产发生的概率,
收稿日期一一
第期高明美赵明清王建新双二项风险模型的破产概率一—
它是初始资本的函数
盈余序列,全的性质
性质盈余序列,之具有平稳独立增量
证明对。⋯。,随机变量
,一一一一一,一, 艺,,⋯,
而
,一,一,⋯,,一,卜
一。,一,⋯,,一。一
是相互独立的,因此,盈余序列,全具有独立增量
又因为十一一一一,对一切的全,
一,一分别具有相同的分布,所以对一切的全,一,也
具有相同的分布,即,全具有平稳增量
综上,盈余序列,全具有平稳独立增量
性质尺一产’,叮‘叮’产,。其中,产
,叮
证明因为
,
‘产,‘叮‘产,
故
二八了一一一‘产
一产厂
一
‘叮‘产,‘‘产口
为保证保险公司的稳定经营,在单位时间内,保费收人应该大于索赔额,根据性质,假设
产‘
破产概率
定理对于任意全,有
一
少
一口’二
其中,为方程一叮妇‘何‘的正解,对玉为的矩母函数
证明对全,,有
一‘粉,二一尺‘刀, 一‘”,全

由于。一。‘、。一。,。一艺二,故上式左端
一厂,‘’一‘‘十‘‘”’一””一”“一“,,’刀一阴一叮”
一一经济数学第卷
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在式右端第一项记为中,将写成
一一一一
给定,由假设,当时,一,一和是相互独立的,且
一服从参数为一和的二项分布,一服从参数为一和‘的复合
二项分布,从而
,一‘”一“一‘‘,一‘,’‘‘,一‘,’
一‘,一‘二‘一’·
选取,则式和式可化简,于是式可