复合二项风险模型的破产概率.pdf

第卷第期经济数学
年月
复合二项风险模型的破产概率’
龚日朝
湘潭工学院数理系,湘潭,
杨向群
湖南师范大学数学系,长沙,
摘要本文讨论了一般情形的复合二项风险模型,得出了初始资本为。时的破产概率以及初始资本为
的情况下的破产概率的一般公式
关键词复合二项风险模型,破产概率
引言
经典风险理论,主要处理保险事务中的随机风险模型,讨论模型在有限时间内的生存概率
以及最终破产概率等问题,模型依时间分为连续时间模型和离散时间模型连续时间模型有许
多文献进行了研究,众所周知的结果是不等式和亡卜近似公式,后来
、、、,以及吴荣、方开泰、张春生、王过京等运用随机过程的理
论和方法,取得了许多更好的结果,而对离散时间模型研究得较少即使有些文献研究,也大都
集中在完全离散复合二项风险模型,例如〔」研究了有限时间内的生存概
率,在我国,成世学和伍彪研究了生存到固定时刻、并且在此时刻的盈余为某数
的概率,而对于一般情形的复合二项风险模型则很少有文献研究柳向东「〕运用随
机过程理论证明了两类离散的风险模型的等价性,本文就在此基础上研究一般情形的复合二
项风险模型,首先考察了它的一些有关性质,然后得到了当初始资本“时的破产概率,以及
当初始资本“时破产概率的一般公式。
模型定义与实际背景
定义设数,‘。,在某概率空间口,厌,尸上,给定
取值于,的独立同分布随机变量又,,,·⋯
具有参数的二项随机序列三孔。,〔,,假设‘二,,⋯与
三裘。独立,令
月
一一,一艺,, ,,,·⋯
称孔。为复合二项风险模型,简记为
庵收稿日期一一
第期龚日朝杨向群复合二项风险模型的破产概率
几。,若,则简记柔。。
模型的实际背景在保险公司的事务中,“是初始资本,‘是每单位时间收取的保
费,是公司唯一的收人是公司的运作时刻,即公司收取保费和进行赔付均在离散时刻
,,,⋯进行,在连续的时间段一,司中进行的一切工作,我们视为是在时刻进行投保
人发生事故后公司对其进行赔付是公司唯一支出,记第次赔付量为‘,则矶霆为取正值的
独立同分布随机变量序列为至时刻为止公司赔付总次数,为到时刻。止的总赔
付量,则是公司在时刻的盈余资本
对于弋器。,恒假产二〔」,并定义安全负荷系数夕二一产,运用强大定
产
理〕,可证以几概率有
若,则
若,则—火〕。
若二,则不尺, 一
月旧月。
因此,在夕和夕二的情况下,模型必破产,故只考虑夕的情况
这里,破产定义为日,使定义破产时,,最终破产概
率和生存到时刻的概率分别为
少
少,
为了强调对于的依赖关系,我们有时采用记号尸“凌·尸·
几个引理
定义给定, ,设‘, ,, 是独立同分布的取值于〔,十
的随机变量,公共分布为二,且三川, ‘,令
‘“一‘,陀,,,·⋯
称’驾为‘一型离散风险模型
引理弋驾和’一型离散风险模型’驾等价,即二者可互相转
化
证见文献「〕
引理篙具有增量可交换性,即对于增量,二一一,
,有对任意,以及,,一的任意全排列,,,一。,,,一弋和几,
戈,一凡,的联合分布相同
证根据引理,只须证明’一型离散风险模型’三’二。是增量可交换序
列证明甚易,略
引理设夕