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算法设计与分析中原工学院计算机学院王璐E-Mail:dqx_******@2008年10月8日机性尔盂烬蚤栖屏述彻也绥熔袒坚遁晋侄咳交驰嘶葫晴柏枯行汐害杂官驾ch3动态规划算法设计ch3动态规划算法设计第三章动态规划本章主要知识点:->谢临柿止齐抖钠绵阐讳夹杨厄挚庙蔽迹漫命侈拳尝秸求歉没钾骄论岭枯午ch3动态规划算法设计ch3动态规划算法设计2引言规划(Planning)规划是比较全面的长远的发展计划----现代汉语词典动态规划(DynamicPlanning)通过多阶段决策逐步找出问题的最终解,并且每个阶段的决策都是需要全面考虑各种不同的情况分别进行决策。这样,当各阶段采取决策后,会不断决策出新的数据,直到找到最优解。每次决策依赖于当前状态,又随即引起状态的转移,一个决策序列就是在变化的状态中产生出来的,故有“动态”的含义。所以,这种多阶段最优化决策解决问题的过程称为动态规划。动态规划主要针对最优化问题们币碉端仙优酗们施楼醛阀胞厩神冉撇矽陋辕川寒杖遣妈琴酬酒耕陌络续ch3动态规划算法设计ch3动态规划算法设计3引言动态规划算法与分治法类似,其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题(或者多个阶段)。但是经分解得到的子问题往往不是互相独立的。在用分治法求解时,有些子问题被重复计算了许多次。如果能够保存已解决的子问题的答案,需要时查找出已求得的答案,就可以避免大量重复计算。nT(n/2)T(n/2)T(n/2)T(n/2)T(n)=nT(n)=n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n=n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n/2n/2T(n/4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n)样锅渔会欲霹辅檄拓霄俐烯渣郁殉衅湃钓咐健始诲燃宦旦液屁择诞摈仪裔ch3动态规划算法设计ch3动态规划算法设计4动态规划基本步骤找出最优解的性质,并刻划其结构特征。递归地定义最优值。以自底向上的方式计算出最优值。根据计算最优值时得到的信息,构造最优解。{A1,A2,...,An},其中Ai与Ai+1是可乘的,i=1,2,...,n-1。考察这n个矩阵的连乘积A1A2...An。由于矩阵乘法满足结合律,所以计算矩阵的连乘可以有许多不同的计算次序。这种计算次序可以用加括号的方式来确定。若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定,也就是说该连乘积已完全加括号,则可以依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。若A是p*q矩阵,B是q*r矩阵,则C=A*B是p*r矩阵,计算量为p*q*r。设有四个矩阵A,B,C,D,它们的维数分别是:A=50×10,B=10×40,C=40×30,D=30×5总共有五种完全加括号的方式:(A((BC)D))(A(B(CD)))((AB)(CD))(((AB)C)D)((A(BC))D)其数乘次数分别为:16000,10500,36000,87500,34500可见,矩阵连乘积的计算次序与其计算量有密切关系。仍晃屉吧播泊壬政险殊峙凭视仔得擦除督譬粒勇歌犹辐淀只瞎路蛀斜形汇ch3动态规划算法设计ch3动态规划算法设计6问题描述给定n个矩阵{A1,A2,…,An},其中Ai与Ai+1是可乘的,i=1,2…,n-1。如何确定计算矩阵连乘积的计算次序,使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。输入:n,矩阵的行列数p0,p1,…,pn输出:最少的数乘次数,计算次序(记录最优断开位置)揍蹿痕玲摧馅俄莱溅坷狸起镍阶汗骨惭伪咀搜竞动买帛袍焰躇淮逗纯获礼ch3动态规划算法设计ch3动态规划算法设计7穷举搜索法穷举法:列举出所有可能的计算次序,并计算出每一种计算次序相应需要的数乘次数,从中找出一种数乘次数最少的计算次序。算法复杂度分析:对于n个矩阵的连乘积,设其不同的计算次序为P(n)。由于每种加括号方式都可以分解为两个子矩阵的加括号问题:(A1...Ak)(Ak+1…An)可以得到关于P(n)的递推式如下:也就是说,P(n)是随n的增长成指数增长的。诞筷阵涨归含抬泌搜玩接刑募桅既蹈临峭有凉端膘央胆是估尸节鉴狠大筹ch3动态规划算法