用法向量求二面角时法向量方向的判断.doc

用法向量求二面角时法向量方向的判断贺年成摘要:在求二面角时如何判断法向量的方向关键词:法向量二面角方向判断借助法向量求二面角的平面角时,二面角的平面角θ的大小与法向量的所成角α(=α12<,>nn)相等或互补,当二面角两个法向量都指向二面角的内部或外部时,θπα=-(图1);当两个法向量一个指向二面角的内部而另一个指向二面角的外部时,θα=(图2)。对于法向量的方向的判断一直是个难点,其实我们可以借助空间坐标系的坐标原点就可以判断法向量的方向,具体方法如下:面ABC与空间直角坐标系的坐标轴分别交于A,B,C三点,不妨设A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c),坐标原点O在面ABC上的射影为D点,容易证明:ABC?是锐角三角形,而且D点为ABC?的垂心1,也就可以知道D点在ABC?的内部,设D(x,y,z),也即向量OD=(x,y,z),则知x,y,z分别与a,b,c同号,此时取平面ABC的一个法向量n=(111,,xyz),若n与向量OD的对应的一个坐标同号,1容易证明三侧棱两两垂直的三棱锥的性质:顶点在底面上的射影为底面三角形的垂心,底面为锐角三角形,锐角三角形的垂心在三角形的内部。则另外两个也必然对应同号,也即111,,xyz与a,b,c对应同号,这样,只要111,,xyz与对应的a,b,c有一个同号,则可知n与OD同向,从而可进一步判断出n的方向为指向平面ABC异于原点O的一侧,否则就指向原点所在的那一侧,这样一来我们可以很容易地判断法向量到底指向二面角的内部还是外部。若二面角的一个半平面过坐标原点,则可以通过平移半平面,让坐标原点置于二面角的内部或外部,再用上面的方法判断。—ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E,F分别是PC,PD的中点,(1)求二面角F—BE—C的大小,(2)求二面角D—BE—C的大小。解析:(1)以D点为原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DP所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,依题意有P(0,0,2),F(0,0,1),E(0,1,1),B(2,2,0),C(0,2,0),BE=(-2,-1,1),FE=(0,1,0),EC=(0,1,-1),DE=(0,1,1),设1n=(111,,xyz),2n=(222,,xyz),3n=(333,,xyz)分别为平面BEF,平面BEC,平面BDE的法向量,110BEnFEn?=??=???1111200xyzy--+=??=?可取平面BEF的一个法向量1n=(-1,0,-2),?