调和级数发散性的证明方法.doc

调和级数发散性的证明方法姓名:范璐婵摘要:本文给出了调和级数发散性的18种证明方法。其中前13种散见于各种资料~笔者进行了整理~有的采用与原证不同的叙述~比原证更具体明了,后5种是笔者用有关定理或方法导出的。关键词:调和级数发散性部分和收敛ProofsofthedivergencyofharmonicseriesName:FanLuchanDirector:WangYingqianAbstract::harmonicseries;divergency;partialsum;convergency引言,1调和级数的发散性最早是由法国学者尼古拉奥雷姆(1323——1382)在,nn1,极限概念被完全理解之前的400年证明的。他的方法很简单:11111111,,,,,,,,234567811111111,,,,,,,,()()22448888注意后一个级数每一项对应的分数都不大于调和级数中相对应的项,而且后面11级数的括号中的数值和都为,这样的有无穷多个,所以后一个级数是趋向无22穷大的,进而调和级数也是发散的。后来,大数学家约翰伯努利也作出了经典的证明。他的证明是以莱布尼茨的收1111敛级数为基础的。以下是他的证明。,,,,,,12612(1)nn,**********证明:,,,,,,,1,,,,nnnn(1)1,,,,,,,,,,,,,11nnnn,,,,,,limlim(1)1n,,,,nnn,1111接着设,A,,,,,23n1234n则;A,,,,,,,261220(1)nn,11111;C,,,,,,,,1261220(1)nn,111111;DC,,,,,,,,,61220(1)22nn,111111;ED,,,,,,,,,122030(1)63nn,111111;FE,,,,,,,,,203042(1)124nn,111111GF,,,,,,,,,;304256(1)205nn,1234511CDEFG,,,,,,,,,,,,,,,,,,即A是无穷大,,伯努利是以一种“整体论”的态度来对待无穷级数的,他证明调和级数发散的方法与现代方法形成了鲜明的对比。伯努利作出这一论证之后的150AA,,1年,才有真正的级数理论出现。他用简明的来证明级数的无穷性,这是证明量的无穷性的一个最独特的方法。而今,随着级数理论的不断完善,我们可以应用更多更精彩的方法证明调和级数的发散性。例如:利用欧拉常数,级数与广义积分敛散性的关系,级数及数列敛散性的定义和性质,级数敛散性的各种判别法,均值不等式等。在级数敛散性的讨论中,调和级数的应用很广泛。了解这些证明方法,对级数敛散性的学习和研究是有益的,特别在其证明方面能起到举一反三,融会贯通的作用。本文给出了调和级数发散性的18种证明方法。其中前13种散见于各种资料,笔者进行了整理,有的采用与原证不同的叙述,比原证更具体明了;后5种是笔者用有关定理或方法导出的。1证法一:利用反证法.,,11假设调和级数收敛,记其和为S,即S=,,,nnn1n1,,由于正项级数若收敛,加括号后仍收敛,且和不变,可知:,11111S==1+,,,,,,n23212nn,n1,11111=(1+)()(),,,,,234212nn,11111(1+,)()(),,,,,24422nn111,,,,,,(1)22n1,,S21SS,,21从而0矛盾,所以调和级数必发散.,2,12证法二:证明调和级数的部分和可任意大.,nn1,,1依次将九项,九十项,九百项,括在一起得,nn1,1111,,,,23n11111111,,,,,,,,,,,,,(1)()()29101199100101999111111111,,,,,,,,,,,,,()()()101010100100100100010001000990900990900,,,,101001000999,,,,101010,,11从上式中可以看出的和可任意大,故级数发散.,,nnn1n1,,3证法三:,,n111,s,,,,,1nn231事实上,存在,对任意自然数,总能找到两个自然数,,m,,nm,2,,,00002当然也有,使得2m,,0111ss,,,,,||2mm00mmm,,122000111,,,,222mmm0001==.,02,1据柯西收敛准则的否定叙述