泰勒公式例题.doc

泰勒公式及其应用等价无穷小在求函数极限中的应用及推广泰勒公式及其应用1引言泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,,所以, ,则有(1)这里为佩亚诺型余项,称(1)=0时,(1)式变成,称此式为(带有佩亚诺余项的),则 ,(2)这里为拉格朗日余项,其中在与之间,称(2)=0时,(2)式变成称此式为(带有拉格朗日余项的):.....(介值定理)设函数在闭区间上连续,且,若为介于与之间的任何实数,则至少存在一点,  利用泰勒公式求极限为了简化极限运算,有时可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限, :此为型极限,若用罗比达法求解,则很麻烦,这时可将和分别用泰勒展开式代替, 由,得,.                        分析:此为型极限,若用罗比达法求解,则很麻烦,这时可将和sinx,分别用泰勒展开式代替,: 由,        。解:,   【注解】现在,我们可以彻底地说清楚下述解法的错误之处因为,从而当时,,应为   利用泰勒公式证明不等式当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物,不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代替, 当时, 取,,则带入泰勒公式,其中=3,得,,. 利用泰勒公式判断级数的敛散性当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时,往往利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式, 利用泰勒公式判断广义积分的敛散性例3由于收敛, :直接根据通项去判断该级数是正向级数还是非正向级数比较困难,因而也就无法恰当选择判敛方法,注意到,若将其泰勒展开为的幂的形式,开二次方后恰与相呼应, 因为,所以,,