泰勒公式例题.doc

泰勒公式例题————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期: 泰勒公式及其应用等价无穷小在求函数极限中的应用及推广泰勒公式及其应用1引言泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,,所以,,则有(1)这里为佩亚诺型余项,称(1)=0时,(1)式变成,称此式为(带有佩亚诺余项的),则 ,(2)这里为拉格朗日余项,其中在与之间,称(2)=0时,(2)式变成称此式为(带有拉格朗日余项的):.....(介值定理)设函数在闭区间上连续,且,若为介于与之间的任何实数,则至少存在一点,,有时可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限,:此为型极限,若用罗比达法求解,则很麻烦,这时可将和分别用泰勒展开式代替,,得,:此为型极限,若用罗比达法求解,则很麻烦,这时可将和sinx,分别用泰勒展开式代替,:由, 。解:,   【注解】现在,我们可以彻底地说清楚下述解法的错误之处因为,从而当时,,应为  ,不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代替,,,,则带入泰勒公式,其中=3,得,,.,往往利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式,,:直接根据通项去判断该级数是正向级数还是非正向级数比较困难,因而也就无法恰当选择判敛方法,注意到,若将其泰勒展开为的幂的形式,开二次方后恰与相呼应,,所以,,,(x)在上二阶可导,且,对,证明:在内存在唯一实根. 分析:这里f(x)是抽象函数,直接讨论的根有困难,由题设f(x)在上二阶可导且,可考虑将f(x)在a点展开一阶泰勒公式,,所以单调减少,又,因此x>a时,,故f(x),于是有,从而必存在,使得,又因为,在上应用连续函数的介值定理,存在,使,由f(x)的严格单调性知唯一,(极值的第二充分条件)设在的某邻域内一阶可导,在处二阶可导,且,.(i)若,则在取得极大值.(ii)若,,,因此.(*)又因,故存在正数,当时,,当时,(*)式取负值,从而对任意有,,,