2422切线长定理.ppt

·oABP1、如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线?2、这样的切线能画出几条?如下左图,借助三角板,我们可以画出PA是⊙O的切线。画一画··oo′⊙O′,与⊙O交于A、B两点。AB即直线PA、PB为⊙O的切线如图,已知⊙O外一点P,你能用尺规过点P作⊙O的切线吗?通过作图你能发现什么呢?,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长。切线长是一条线段·opAB如图,PA、PB是⊙O的切线,A、B为切点。如果连结OA、OB、OP,图中的PA与PB,∠APO与∠BPO有什么关系?探究∵PA、PB是⊙O的切线,A、B为切点∴OA⊥PA,OB⊥PB又∵OA=OB,OP=OP∴Rt△AOP≌Rt△BOP∴PA=PB,∠APO=∠BPO结论切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。·opAB符号语言∵PA、PB是⊙O的切线,A、B为切点∴PA=PB,∠APO=∠BPO猜想如图,若连接AB,则OP与AB有什么关系?分析∵PA、PB是⊙O的切线,A、B为切点∴PA=PB,∠APO=∠BPO∴OP⊥AB,且OP平分ABCD归纳从圆外一点引圆的两条切线,圆心和这一点的连线垂直平分切点所成的弦;平分切点所成的弧。AD与BD相等吗?⌒⌒(2)已知OA=3cm,OP=6cm,则∠APB=PABCO60°(4)OP交⊙O于M,则,ABOPAM=BM⌒⌒M⊥牛刀小试(3)若∠P=70°,则∠AOB=°110(1)若PA=4、PM=2,求圆O的半径OAOA=3已知:如图,PA、PB是⊙O的切线,切点分别是A、B,Q为AB上一点,过Q点作⊙O的切线,交PA、PB于E、F点,已知PA=12cm,求△PEF的周长。EAQPFBO易证EQ=EA,FQ=FB,PA=PB∴PE+EQ=PA=12cmPF+FQ=PB=PA=12cm∴周长为24cm牛刀再试例1已知,如图,PA、PB是⊙O的两条切线,A、⊙O于点D、E,交AB于C.(1)写出图中所有的垂直关系;(2)写出图中所有的全等三角形.(3)如果PA=4cm,PD=2cm,:(1)OA⊥PA,OB⊥PB,OP⊥AB(2)△OAP≌△OBP,△OCA≌△OCB△ACP≌△BCP.(3)设OA=xcm,则PO=PD+x=2+x(cm)在Rt△OAP中,由勾股定理,得PA2+OA2=OP2即42+x2=(x+2)2解得x=3cm所以,·P·OABC如图,P为⊙O外一点,PA、PB分别切⊙O于A、B两点,OP交⊙O于C,若PA=6,PC=2,求⊙O的半径OA及两切线PA、PB的夹角。解:连接OA、AC,则OA⊥AP在Rt△AOP中,设OA=x则OP=x+2∴OA2+PA2=OP2即x2+62=(x+2)2解得x=2,即OA=OC=2∴OP=4在Rt△AOP中,OP=2OA∴∠APO=30°∵PA、PB是⊙O的切线∴∠APB=2∠APO=60°∴⊙O的半径为2,两切线的夹角为60°利用切线长定理进行证明·ABCDEO21例2如图,已知:在△ABC中,∠B=90°,O是AB上一点,以O为圆心,OB为半径的圆交AB于点E,切AC于点D。求证:DE∥OC证明:连接BD.∵∠ABC=90°,OB为⊙O的半径∴CB是⊙O的切线∵AC是⊙O的切线,D是切点∴CD=CB,∠1=∠2∴OC⊥BD∵BE是⊙O的直径∴∠BDE=90°,即DE⊥BD∴DE∥OC