四点共圆四点共圆的判定方法:(1)先证三点共圆,再证第四点也在此圆上(2)若干个点到某定点距离相等,则这些点共圆(3)同底同侧张等角的三角形,各顶点共圆(4)若一个四边形的一组对角互补,则它的四个顶点共圆。(5)若四边形的对角线相交于,且,则它的四个顶点共圆。(6)若四边形的一组对边、相交于,且,则它的四个顶点共圆。(7)(托勒密定理的逆定理)若四边形中,则、、、四点共圆(8)(西姆松定理的逆定理)从外一点引三边、、所在直线的垂线,垂足为、、,若、、共线,则、、、四点共圆例1如图,三边上的高交于,不于任一顶点重合,则以、、、、、、中某四个点可以确定的圆共有多少个?例2给出锐角,以为直径的圆与边的高及其延长线交于、,以为直径的圆与边的高及其延长线交于、,求证:、、、四点共圆例3在等腰中,为底边上任意一点,过点作两腰的平行线分别与、交于点、,又点是点关于的对称点,求证:点在的外接圆上例4、、三点共线,点在直线外,、、分别为、、的外心,求证:、、、四点共圆例5在梯形中,‖,,、分别在、上,,求证:例6如图,中,高、交于,且,为内的一点,且,,连结,求证:平分例7如图,内接于圆,、是圆的切线,作∥交于,连结并延长交于,求证:例8正方形的中心为,面积为,为正方形内一点,,,求例9如图,在平行四边形中,于,于,若,,,求的长度例10如图,已知直线、切圆于点、,圆上一点,到、的距离分别为4厘米和6厘米,求到的距离例11在的边、上分别取点、,使得,求证:例12在梯形中,‖,,,,,求的长例13在锐角中,,是高上一点,连结并延长交于点,连结并延长交于点,已知、、、四点共圆,求证:为的垂心例14如图,圆外一点,切圆于,是割线,于,求证:例15如图,已知,在凸五边形中,,,且,,求证:例16如图,为的一条高,是过的一条直线,、都是上的点,满足,,设、分别为、的中点,证明:例17设有边长为1的正方形,试找出这个正方形的内接正三角形中面积最大的和面积最小的,并求出这两个面积例18证明(托勒密定理)凸四边形的四个顶点共圆的充要条件是例19一个凸六边形的顶点共圆,它的五条边长都为81,第六条边长为31,记第六条边为,求引出的三条对角线的长度之和例20证明(西姆松定理)从外一点,引三边、、所在直线的垂线,垂足是、、,则点在的外接圆上的充要条件(点在内时)是、、共线,亦即
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