子空间的基本内容.doc

线性子空间的研究数学与应用数学专业学生:罗柏平指导老师:周绍杰摘要:线性子空间理论是线性代数的核心内容之一,、和、直和的定义,并阐述了线性子空间、子空间直和的几个等价性定义,并做了一定的的推广;在此基础上,,:线性空间,线性子空间,子空间的交,维数Abstract:Linearspaceandsubspacesareoneoflinearalgebra,,andand,,subspacestraightandfewequivalencedefinition,anddidsomepromotion;Baseduponthese,drawsubspaceofmixedoperationisforandincludedrelationanditstwosubspaces,:linearspace;linearsubspace;intersectionofsubspaces;dimensions0引言线性子空间理论是高等代数中的重要内容,线性子空间是线性空间的子集,,子空间的交与和,、,,在数学、物理、通信、化学、,子空间的理论不仅是高等代数的核心,而且广泛渗透到各自然科学、工程技术、,先讨论有关线性子空间的一些基本问题,对线性空间有关的概念和部分结论作一回顾,(子空间) 数域P上线性空间V的一个非空子集合W称为V的一个线性子空间或简称子空间,(生成子空间) 设,则子空间即这组向量所有的线性组合构成的子空间,称为由生成的子空间,(和与交、直和)i设、是线性空间V的两个子空间,满足的称为与的和,记作+;满足的称为与的交,,如果中每一个向量的分解式是唯一的,,如果和中每个向量的分解式,是唯一的,则该和称为直和,(子空间的判别) 线性空间的一个非空子集是的子空间的充分必要条件是,(维数公式)如果是有限维线性空间的两个子空间,那么dim()+dim()=dim()+dim().命题3(直和的等价条件) 若是线性空间的子空间,则以下条件等价.(1)是直和;(2)零向量的表示法唯一;(3);(4)dim()=.命题4设V是P上的有限维线性空间,.则向量组的极大线性无关组就是生成子空间的基,且秩()=dim(L).向量组与等价的充要条件是=.2子空间的几个性质性质1 设是n维线性空间V的一组基,A是一个n×s矩阵,且,:要证明的维数等于A的秩,,,可设A的前r列是极大线性无关组,由条件得,可证构成,,设,于是得,因为线性无关,所以,该方程组的系数矩阵秩为故方程组只有零解即,:任意添一个向量后,向量组,,设,于是,其系数矩阵的秩为r<r+1,所以方程组有非零解即,,, 设是线性空间的s个非平凡的子空间,:=2时,-1个非平凡的子空间也成立,即在