余弦定理导学案.doc

,掌握余弦定理,理解用数量积推导余弦定理的过程,并体会向量在解决三角形的度量问题时的作用.?.?,并会用余弦定理解决“已知三边求三角形的三角”及“已知两边及其夹角求三角形中其他的边和角”等问题.?:余弦定理的证明及其应用.?难点:、余弦定理?:在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,那么有如下结论:a2=b2+c2-osA,b2=a2+c2-osB,c2=a2+b2-2abcosC.?,.?注意:(1)在余弦定理的每一个等式中含有四个量,利用方程的思想,可以知三求一.?(2)余弦定理也为求三角形的有关量(如面积,外接圆,内切圆等)提供了工具,它可以用来判定三角形的形状,证明三角形中的有关等式,在一定程度上,它比正弦定理的应用更加广泛.?:将余弦定理稍加变形,可以得到另外的形式,,可以帮助我们深入理解和灵活应用余弦定理.?cosA=,cosB=,cosC=.?由上述变形,结合余弦函数的性质,可知道:如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么第三边所对的角是直角,如果小于第三边的平方,那么第三边所对的角为钝角,如果大于第三边的平方,,余弦定理可以看作勾股定理的推广,而勾股定理则是余弦定理的特例.?二、余弦定理的证明?教材中给出了用向量的数量积证明余弦定理的方法,,对余弦定理的证明,还可以应用解析法、几何法等方法证明.?证明:方法1:(解析法)如图所示,以A为原点,△ABC的边AB所在直线为x轴,建立直角坐标系.?则A(0,0),C(bcosA,bsinA),B(c,0),?由两点间的距离公式得BC2=(bcosA-c)2+(bsinA-0)2,?即a2=b2+c2-osA.?同理可证b2=a2+c2-osB,?c2=a2+b2-:(几何法)△ABC为锐角三角形时,过C作CD⊥AB于D,则CD=bsinA,?AD=bcosA,BD=AB-AD=c-bcosA.?在Rt△BCD中,BC2=CD2+BD2,即a2=b2sin2A+(c-bcosA)=b2+c2-osA.?同理可证b2=a2+c2-osB,c2=a2+b2-2abcosC.?如图,当△ABC为钝角三角形时,过C作CD垂直于AB的延长线,垂足为D,则AD=bcosA,CD=bsinA.?BD=AD-AB=bcosA-c.?在Rt△BCD中,BC2=CD2+BD2,即a2=b2sin2A+(bcosA-c)2.?所以a2=b2+c2-osA.?同理可证:b2=a2+c2-osB,c2=a2+b2-、余弦定理的应用?余弦定理主要适用以下两种题型:?(1)已知三边求三角,用余弦定理,有解时只有一解;?(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他的角,用余弦定理,:?在应用余弦定理求三角形的边长时,容易出现增解,原因是余弦定理中涉及的是边长的平方,求得结果常有两解,因此,(1)语言叙述:?三角形任何一边的平方等于减去的积的.?(2)公式表达:?a2=;?b2=;?c2=.?(3)变形:?cosA=;?cosB=;?cosC=.??应用余弦定理及其变形可解决两类解三角形的问题,一类是已知两边及其解三角形,另一类是已知解三角形.[答案]1.(1)其他两边的平方和这两边与它们夹角的余弦两倍(2)b2+c2-osAa2+c2-osBa2+b2-2abcosC(3)?思路方法技巧命题方向已知三边解三角形[例1]在△ABC中,已知a=7,b=3,c=5,求最大角和sinC.?[分析]在三角形中,大边对大角,所以a边所对角最大.?[解析]∵a>c>b,∴A为最大角,?由余弦定理得,cosA===,?又∵0°<A<180°,?∴A=120°,∴sinA=sin120°=.?由正弦定理=得,?sinC===.?∴最大角A为120°,sinC=.?[说明](1)求sinC也可用下面方法求解:?cosC