证明角相等的方法.doc

证明两角相等的方法初三数学备课组【重点解读】证明两角相等是中考命题中常见的一种题型,此类证明看似简单,但方法不当也会带来麻烦,特别是在中考有限的两个小时中。恰当选用正确的方法,可取得事半功倍的效果。在教学中总结了一些定理(或常见结论)以及几种处理方法,仅供参考。【相关定理或常见结论】1、相交线、平行线:(1)对顶角相等;(2)等角的余角(或补角)相等;(3)两直线平行,同位角相等、内错角相等;(4)凡直角都相等;(5)、三角形(1)等腰三角形的两个底角相等;(2)等腰三角形底边上的高(或中线)平分顶角(三线合一);(3)三角形外角和定理:三角形外角等于和它不相邻的内角之和(4)全等三角形的对应角相等;(5)、四边形(1)平行四边形的对角相等;(2)菱形的每一条对角线平分一组对角;(3)、圆(1)在同圆或等圆中,若有两条弧相等或有两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等;(2)在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等.,圆心角相等.(3)圆周角定理:在同圆或等圆中,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.(4)圆内接四边形的性质:圆内接四边形的对角互补;并且每一个外角都等于它的内对角.(5)三角形的内心的性质:三角形的内心与角顶点的连线平分这个角.(6)正多边形的性质:正多边形的外角等于它的中心角.(7)从圆外一点引圆的两条切线,圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角;5、利用等量代换、、利用三角函数计算出角的度数相等【典题精析】(一)利用全等相关知识证明角相等例1已知:如图,于点,于点,与交于点,::要证平分,因为于点,于点,所以只要证明OD=OE;若能证明若能证△OBD≌△OCE即可,因为可证∠ODB=∠OEC=90°,∠BOD=∠COE,而BD=CE,:∵于点,于点∴∠ODB=∠OEC=90°在△OBD和△OCE中∠ODB=∠OEC∠BOD=∠COEBD=CE∴△OBD≌△OCE∴OD=OE∵于点,于点∴:本例的证明运用了对顶角相等,角的平分线性质的逆定理例2如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,E是梯形内一点,ED⊥AD,BE=DC,∠ECB=:∠EBC=∠EDC分析:要证明∠EBC=∠EDC,容易想到证全等,而图中没有全等的三角形,如果能构造出两个全等的三角形即可。延长DE与BC交于点于点F,这样就很容易证△BEF≌△DCF,从而问题得到解决。证明:延长DE与BC交于点于点FAD∥BC,ED⊥AD∴DF⊥BC∴∠BFE=∠DFC=90°∵∠ECB=45o∴∠ECB=∠CEB=45o∴CF=EF在Rt△BEF和Rt△DCF中EF=CF,BE=DC∴Rt△BEF≌Rt△DCF∴∠EBC=∠EDC说明:本例运用全等三角形的对应角相等,来证明两角相等例3如图,已知四边形ABCD是等腰梯形,CD∥BA,:∠ABD=∠:要证∠ABD=∠ABE,若能证△ABD≌△=AC=BD,AE=BC=AD,而AB为公共边,:∵四边形ABCD是等腰梯形,∴AD=BC,AC=BD.∵四边形AEBC是平行四边形,∴BC=AE,AC=BE.∴AD=AE,BD=∵AB=AB,∴△ABD≌△ABE.∴∠ABD=∠::这类题主要考查全等三角形、特殊四边形的性质,在中考中也是常考的题型,在证明过程中,特别要抓住一些基本图形,同时还要注意常用辅助线的作法。(二)利用平行、三角形的内角和、:△ABC中,AD是高,CE是中线,DC=BE,DG⊥CE,G是垂足,求证:⑴G是CE的中点;⑵∠B=2∠:⑴已知中多垂直和中线条件,可联想直角三角形斜边上的中线性质;要证明G是CE的中点,结合已知条件DG⊥CE,符合等腰三角形三线合一中的两个条件,故连结DE,证明△DCE是等腰三角形,由DG⊥CE,可得G是CE的中点.⑵由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,BE=DE,∠B转化为∠:⑴连结DE,∵∠ADB=90°,E是AB的中点,∴DE=AE=BE(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半),又∵DC=BE,∴DC=DE,又∵DG⊥CE,∴G是CE中点(等腰三角形底边上的高平分底边).⑵∵DE=DC,∴∠DCE=∠DEC(等边对等角),∴∠EDB=∠DEC+∠DCE=2∠BCE(三角形的外角等于两不相邻内角的和),又∵DE=BE,∴∠B=∠EDB,∴∠B=2∠BCE直角三角形、等腰三