三维图形几何变换.docx

三维图形几何变换.docx、旋转和变比。三维几何变换可以表示为公式,或三维齐次坐标和4X4变换矩阵的乘积。下面分别以公式,矩阵乘积和简记符号來描述三维几何变换。并记变换前物体的坐标为x,y,z;变换后物体的坐标为x,,y',z,。一、平移设Tx,Ty,Tz是物体在三个坐标方向上的移动量,则有公式:X’=x+Txy'=y+Tyz‘=z+Tz矩阵运算表达为:[xzyz1]1]简记为:T(Tx,Ty,Tz)二旋转旋转分为三种基本旋转:绕Z轴旋转,绕x轴旋转,绕y轴旋转。在下述旋转变换公式中,设旋转的参考点在所绕的轴上,绕轴转。角,方向是从轴所指处往原点看的逆时针方向((a),(b)))1绕Z轴旋转的公式为:X’二xcos9—ysin9y‘=xsino+ycosoz'—z矩阵运算的表达为:[x‘yz1]=[xyz1]cos.-fin000o'^001001简记为Rz(0)o2绕x轴旋转的公式为:x'=Xyr=ycos0—zsin9z'=ysino+zcoso矩阵运算的表达为:[x‘yzT1]=[xy1]0cm/-M/cm/0001简记为R<(0)2绕y轴旋转的公式为:x'=zsin0+xcos9zcos0—xsin0矩阵的运算表达式为:0-fin夕401000[xzfT1]=[xyz1]L0 0 0I简记为Ry(e)o如果旋转所绕的轴不是坐标轴,而是一根任意轴,则变换过程变显得较复杂。首先,对物体作平移和绕轴旋转变换,使得所绕之轴与某一根标准坐标轴重合。然后,绕该标准坐标轴作所需角度的旋转。最后,通过逆变换使所绕之轴恢复到原来位置。这个过程须由7个基本变换的级联才能完成。设旋转所绕的任意轴为E伍两点所定义的矢量。旋转角度为。()o这7个基本变换是:T(-Xi,-yb・zd使pi点与原点重合((b));K(a),使得轴p1p2落入平面xoz内((c));&(卩),使p1p2与z轴重合((d));Rz(e),执行绕p1p2轴的0角度旋转((e));Ry(-p),作3的逆变换;艮(・a),作2的逆变换;T(x心zd作1的逆变换。U)R.<a>(OR3y图36绕任意轴P1P2旋转的前四个步骤1求Rx(a)的参数:转角a是u在yoz平面的投影ur=(o,b,c)与z轴的夹角(图3 7(a)),故有:cosa=,其中d=32又因iTXuz=UxIuzIIu7Isina其中出是在x轴上的投影。并且用行列式计算矢量积得:iTxUz=Ux•b,故得:an:为\1/a出得■Iooo■ooo1OA-dc-doo盃一&*doypi图372求&(B)的参数((b)):经过K(q)变换,巨已落入xoz平面,但巨点与x轴的距离保持不变。因此,ppz现在的单位矢量『的z方向分量之值即为$之长度,等于d,B是u〃与q之夹角,故有:U■务cosB=k*IW=d根据矢量积的定义,有:UzIurzIIUzIsinp=Uy-(-a)因为|u"|=f &*27=i,并丨q|=1,所以:sinp=・a因此得到Ry(0)为:d0aO10100-a0</0Ry(P)=L000L绕任意轴(XiyiZi)(x2y2Z2)转动。角的变换R(B)为如下级联变换:R(0)=T(-Xi,- -Zi)Rx(a)•&(p)R(