正弦定理的证明方法.doc

正弦定理的证明方法篇一:正弦定理的几种证明正弦定理的几种证明内蒙古赤峰建筑工程学校迟冰邮编(024400)正弦定理是解决斜三角形问题及其应用问题(测量)的重要定理,而证明它们的方法很多,展开的思维空间很大,研究它们的证明,有利于培养学生的探索精神,体验数学的探索活动过程,也有利于教师根据不同的教学质量要求和学次,进行适当的选择。正弦定理的内容:在?ABC中的三边和三角分别是asinA=bsinB=csinC:a,b,c和A,B,C则:一向量法证明:在?ABC中做单位向量i?AB?i?(AC?CB)|sinA?|i||CB|sinCi⊥AC,,则:?csinCasinA?:bsinBasinA?bsinB?csinC同理可证:即正弦定理可证证明:在?ABC中做高线CD,则在Rt?ADC和Rt?BDC中CD=bsinA,CD=asinB即bsinA=asinBasinA=bsinB,同理可证:acsinA=sinC,即正弦定理可证三外接圆法证明:做?ABC的外接圆O,过点C连接圆心与圆交于点设圆的半径为R∴?CAD为Rt?,且b?RsinD,且a∠D?∠B∴b?2RsinB,即bsinB?2R同理:acsinA?2R,sinC?2R∴acsinA?bsinB?sinCD,连接AD,四面积法S?ABC?12bcsinA?12asinAabsinC??bsinB12?acsinBcsinC∴正弦定理可证:篇二:正弦定理证明正弦定理的证明解读克拉玛依市高级中学曾艳一、(1)当?ABC是锐角三角形时,设边AB上的高是CD,根据锐角三角函数的定义,有CD?asinB,CD?bsinA。由此,得asinA?bsinB,c同理可得csinC?bsinB,DBba故有asinA?bsinB?.(2)当?ABC是钝角三角形时,过点C作AB边上的高,交AB的延长线于点D,根据锐角三角函数的定义,有CD得asinA??asin?CBD?asin?ABC,CD?bsinA。由此,BDbsin?ABC,同理可得csinC?bsin?ABC故有asinA?bsin?ABC??由(1)(2)可知,在?ABC中,bsinBsinA?:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比值相等,即asinA?bsinB?’用知识的最近生长点来证明:实际应用问题中,我们常遇到问题:已知点A,点B之间的距|AB|,可测量角A与角B,需要定位点C,即:在如图△ABC中,已知角A,角B,|AB|=c,求边AC的长b解:过C作CD?AB交AB于D,osADC?BDtanC?osC?csinAcosCsinCb?AC?AD?osA?csinAcosCsinC?c(osA?sinAcosC)sinC?csinBsinC推论:bsinB?csinCbsinBcsinC同理可证:asinA??已知△ABC,设BC=a,CA=b,AB=c,作AD⊥BC,垂足为D.则Rt△ADB中,sinB?1ADAB21,∴AD=AB·sinB=csinB.12acsinB12112∴S△ABC=a?AD?2.同理,可证S△ABC=absinC?212cacsinB?bcsinA.B∴S△ABC=absinC?bcsinA?.∴absinc=bcsinA=acsinB,C?sinBbD在等式两端同除以ABC,.即asinA?bsinB?csinC.(1)△ABC为锐角三角形,过点A作单位向量j垂直于AC,则j与AB的夹角为90°-A,j与CB的夹角为90°-C.由向量的加法原则可得AC?CB?AB,为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量j的数量积运算,得到j?(AC?CB)?j?AB由分配律可得AC?j?CB?j?AB.B∴|j|Cos90°+|j|Cos(90°-C)=|j|Cos(90°-A).j∴asinC=csinA.∴asinA?csinC.AC另外,过点C作与CB垂直的单位向量j,则j与AC的夹角为90°+C,j与AB的夹角为90°+B,可得csinC?bsinB.(此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提,防止误解为j与AC的夹角为90°-C,j与AB的夹角为90°-B)∴asinA?bsinB?csinC.(2)△ABC为钝角三角形,不妨设A>90°,过点A作与AC垂直的单位向量j,则jA与AB的夹角为A-90°,j与CB的夹角为90°-C.CB=j·AB,由AC?CB?AB,得j·AC+j·j即a·C