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平均值不等式的证明[2].doc

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算术--几何平均不等式的证明算术平均-几何平均不等式己知,记,求证(1)当且仅当时取等号。证明当时,当且仅当时取等号。所以,当时命题成立。假设命题对于任意个正数成立,则对于任意个正数,有(2)即两边次方,得两边约去,得开方,得(3)当且仅当,即时(2)(或(3))取等号。所以,当时,命题也成立。由数学归纳法原理知,对于任意,命题成立,即不等式(1)成立,当且仅当时取等号。注:当时,不等式(1)退化为等式。

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