平均值不等式的证明平均值不等式的证明及其应用.doc

平均值不等式的证明平均值不等式的证明及其应用.doc平均值不等式的证明平均值不等式的证明及其应用
第１６卷第５期２０１３年９月高等数学研究
ＳＴＵＤＩＥＳＩＮＣＯＬＬＥＧＥ　ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳＮｏ．５Ｖｏｌ．１６，
，Ｓｅ．２０１３ｐ
平均值不等式的证明及其应用
卢胜森，云霄霄
（）内蒙古大学数学科学学院，内蒙古呼和浩特０１００２１
ｎ
ｎ
ｎ
摘
ｎ
…，，要　设ａ若借助数学归纳法可相应地证明ａａ１，２，ｎ为正数，ｉ＝１或ｉ＝１ｉ≥ｎ或∏ａ∑ａ∑ａ
ｉ＝１
ｉ＝１
ｉ＝１
ｎ
这两个不等式可用于证明平均值不等式，并由此得出三者相互等价．实例说明平均值不等式在求数列ｎ．ｉ≤１∏ａｉ＝１
极限方面的应用．
关键词　数学归纳法；平均值不等式；数列极限中图分类号　Ｏ１２２．３；Ｏ１７１
文献标识码　Ａ
（）文章编号　１００８１３９９２０１３０５００４７０４－－－
］给出了平均值不等式的多种证明方文［１－２］分别给出平均值不等式的多种应用范法，文［３－４例．本文将给出平均值不等式的另外两种证明方法，同时，实例说明它在求数列极限方面的应用．
…，引理１　对于任意ｎ个正数ａ若它ａａ１，２，ｎ，们满足
ｎ
当且仅当ａａ１＝ａ２＝…＝ａｋ１＝ａｋｋ１＝１时等号－＋
进而有成立．
ｋ１＋
ｋ１－
，ａａ－１＋∑ｉ≥ａｋｋ１＋ｉ≥ｋ＋
∑ａ
ｉ＝１
ｉ＝１
也即
ｋ１＋
∑ａ≥ｋ＋１，
ｉ
ｉ＝１
ｉ
ｉ＝１
∏ａ＝１，
ｎ
ｉ
当且仅当ａ故当１＝ａ２＝…＝ａｋ１＝１时等号成立．＋命题成立．ｎ＝ｋ＋１时，
综上，命题证毕．
…，引理２　对于任意ｎ个正数ａ若它ａａ１，２，ｎ，们满足
ｎ
则有
ｉ＝１
∑ａ≥ｎ，
＋
其中等号当且仅当ａ１＝ａ２＝…＝ａｎ＝１时成立．
证明　利用数学归纳法证明．当ｎ＝１时，命题显然成立．假设ｎ＝ｋ∈瓕时
下面证明当ｎ＝ｋ＋１时命题亦成立．命题成立，
ｋ１＋
ｉ＝１
∑ａ＝１，
ｉｎ
则有
，ｎ∏ａｉ≤１
ｎｉ＝１
当ｎ＝ｋ＋１时，若
，则显然存在ａｉ＝１ｉ和ａｊ
∏ａ
ｉ＝１
）满足ａ不妨设ａ则ｉ≠ｊ．ｉ≥１≥ａｋ１≥１≥ａｋ，＋ｊ（
（）（ａ１－ａｋ１－１ｋ）＋≥０，，ａａｋｋ１≤ａｋ＋ａｋ１－１＋＋
其中等号当且仅当ａ显然，ｋ＝１或ａｋ１＝１时成立．＋…ａａａａａ１，２，ｋ１，ｋｋ１满足－＋
ｋ１－
时成立其中等号当且仅当ａ．１＝ａ２＝…＝ａｎ＝
ｎ
证明　利用数学归纳法证明．当ｎ＝１时，命题显然成立．假设ｎ＝ｋ∈瓕＋时命题成立，下面证明当ｎ＝ｋ＋１时命题亦成立．
ｋ１＋
（ａａｋｋ１）ａ＋
∏ｉ＝１，
ｉ
当ｎ＝ｋ＋１时，若
则显然存在ａ和
∑ａ＝１，
ｉ
ｉ
ｉ＝１
ａｊ满足
ａｉ≥
不妨假设
，ｉ≠ｊ）≥ａｊ　（
ｋ＋１
ｋ，≥ａ
ｋ＋１
由归纳假设可知
ｋ１－
，ａａｋｋ１＋ｉ≥ｋ＋
∑ａ
ｉ＝１
；收稿日期：修改日期：２０１２０５０３２０１３０７２５－－－－
，作者简介：卢胜森（男，山东曹县人，数学专业２１９９０－）００９级本科
：生．Ｅｍａｉｌｌｕｓｈｅｎｓｅｎ＠ｓｉｎａ．ｃｎｇ
，云霄霄（女，河南杞县人，数学专业２１９９０－）００９级本科：生．Ｅｍａｉｌｕｎｘｉａｏｘｉａｏｉｍｕｉｎａ．ｃｎ＠ｓｙ
ａｋ１≥＋
那么
）（）（－ａｋ＋１ａｋ１－ｋ）＋≥０，
ｋ＋１ｋ＋１
４８
，（）ｋ＋１ａａｋｋ１≤ａｋ＋ａｋ１－＋＋
ｋ＋１
高等数学研究２０１３年９月
，ｂ１＝ｂ２＝…＝ｂｎ＝１
ｃ１＝ｃ２＝…＝ｃｎ＝１
时成立．从而有
ｎ
ｋ
ｎｎ
或时等号成立显当且仅当ａａ．ｋ＝ｋ１＝＋
ｋ＋１ｋ＋１
，（）然１ａｋ１ｋ＋ａｋ１－－＋
ｋｋｋｋ＋１满足
∏ａ
ｋ＝１ｎｎ
ｋ＝１
∑ａ
ｋ
≥ｎ，
（），ａ＋∑ｋ＋ａｋ１－ｉ＝１＋
ｋｋ＋１ｋｉ＝１
由归纳假设得
）ｋ（ｋａｋ＋ａｋ１－ｉ＋≤１，
ｋｋ＋１∏ｋｉ１＝
也即
）ｋ
（（），ａｋ＋１ａｋ＋ａｋ１－ｉ≤１＋
∏