专题9 四点共圆巧解中考题.ppt

考点解读四点共圆在圆内接四边形综合问题的求解中占据了重要地位,都是在大题中结合题目的几何背景进行综合考查,:利用四点共圆证相似,利用四点共圆求最值,这些问题大都利用转化思想,将几何问题转化为四点共圆问题,,则称这四个点共圆,一般简称为“(1)共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等(2)圆内接四边形的对角互补3)(1)用“角”判定:①-组对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上;②一个外角等于它的内对角的四边形的四个顶点在同一个圆上③如果两个三角形有一条公共边,且位于公共边同侧的两个角相等,则这两个三角形的四个顶点在同一个圆上(2)“等线段”判定四顶点到同一点的距离相等,若QA=0B=0C=0D,则A,B,C,D四点共圆(3)用“比例线段”判定:若线段AB,CD(或其延长线)交于点P,且PA·PC=PB·PD,则A,B,C,D四点共圆课堂精讲例1(2019·濰坊)如图,四边形ABCD内接于⊙0,AB为直径,AD=CD,过点D作D⊥AB于点E,∠CAB=,DF=5,【分析】连接BD,如图,先利用圆周角定理证明∠ADE=∠DAC得到FD=FA=5,再根据正弦的定义计算出EF=3,则AE=4,D=8,接着证明△ADE∽△DBE,利用相似比得到B=16,所以AB=20,然后在Rt△ABC中利用正弦定义计算出BC的长答案图【答案】C课堂精讲【方法归纳】若已知圆上四点,常常使用四点共圆的性质,:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径,用“四点共圆”的思想进行角的数量代换,,正方形ABCD的边长为6,点0是对角线AC,BD的交点,点E在CD上,且DE=2CE,过点C作CF⊥BE,垂足为F,连接O,求O的长课堂精讲【分析】方法一::正方形ABCD的边长为6,点0是对角线AC,BD的交点,∴△AOB,△AOD,△BOC,△COD为等腰直角三角形,且A0=B0=0=0==2CE,CE=2,DE=4.∴BE=210(在Rt△BCE中用勾股定理求BFBO得).然后利用△BCF∽△BEC,△BF∽△BED,根据比例求解0F即可课堂精讲方法二:我们观察这个图形可以发现点B,C,F,0这四点是共圆的,故∠1=∠2=45°(圆中同弧所对圆周角相等),所以∠1=∠3=45°,加上公共角∠DBE,就能得到△BOF∽△BED,这样的方法是利用几何图形中的变换得到所要的结论,,还可以过点0向BE作垂线,垂足为M,然后利用勾股定理求解课堂精讲【解】方法一:∵CF⊥BE,∵.∠BCF=∠EBC=90°9N3,sB03∵∠EBC+∠BEC=90°BFBO∴∠BEC=∠BCFBDBE∠BCE=∠BFC=90∵∠DBE=∠DBE,∴△BOF∽△BEDBCBF∴△BCF∽△BEC.∴BOoF3BEBCBEDE10BC=6,CE=2,∵DE=4,∴OF=∴BE=BC2+CE=210∴BF=