费马点 的两证明方法样本.doc

费马点_的两证明方法样本费马点证实方法费马点,就是平面上到三角形三顶点距离之和最小点。当三角形有一个内角大于或等于一百二十度时候,费马点就是这个内角顶点;假如三个内角全部在120度以内,那么,费马点就是使得费马点和三角形三顶点连线两两夹角为120度点。1、费马点不在三角形外,这个就不用证了,很显然。但为了严谨,还是说一下2、当有一个内角大于等于120度时候对三角形内任一点P延长BA至C'使得AC=AC',做∠C'AP'=∠CAP,而且使得AP'=AP,PC'=PC,(说了这么多,其实就是把三角形APC以A为中心做了个旋转)则△APC≌△AP'C'∵∠BAC≥120°∴∠PAP'=180°-∠BAP-∠C'AP'=180°-∠BAP-∠CAP=180°-∠BAC≤60°∴等腰三角形PAP'中,AP≥PP'∴PA+PB+PC≥PP'+PB+PC'>BC'=AB+AC所以A是费马点3、当全部内角全部小于120°时做出△ABC内一点P,使得∠APC=∠BPC=∠CPA=120°,分别作PA,PB,PC垂线,交于D,E,F三点,图,再作任一异于P点P',连结P'A,P'B,P'C,过P'作P'H垂直EF于H易知∠D=∠E=∠F=60°,即△DEF为等边三角形,计边长为d,面积为S则有2S=d(PA+PB+PC)∵P'A≥P'H所以2S△EP'F≤P'A*d同理有2S△DP'F≤P'B*d2S△EP'D≤P'C*d相加得2S≤d(P'A+P'B+P'C)即PA+PB+PC≤P'A+P'B+P'C,当且仅当P,P'重合时取到等号所以P是费马点即使不知道费马点在那里,我们先假设她在某个位置,做出来,证实她不可能含有一些性质,最终确定她位置,这个证实仅限于三个内角全部小于120度时候。以A,C为焦点,AP+PC为长轴长,做椭圆,以B为圆心,BP为半径,做圆我们先假定椭圆和原是相交,并取她们公共部分内部一点P'则P'在圆内也在椭圆内所以P'A+P'B+P'C>PA+PC+PC,和假设矛盾,所以圆和椭圆必相切(不可能没有公共点吧,因为全部过P)做她们公切线,并作直线BP,显然BP和公切线垂直由椭圆几何性质易知,BP平分角APC,所以∠APB=∠CPB同理有∠APC=∠CPB所以∠APC=∠APB=∠CPB=120°即为费马点