费马点-的两证明方法.doc

费马点的证明方法费马点,就是平面上到三角形三顶点距离之和最小的点。当三角形有一个内角大于或等于一百二十度的时候,费马点就是这个内角的顶点;如果三个内角都在120度以内,那么,费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为120度的点。1、费马点不在三角形外,这个就不用证了,很显然。但为了严谨,还是说一下2、当有一个内角大于等于120度时候对三角形内任一点P延长BA至C'使得AC=AC',做∠C'AP'=∠CAP,而且使得AP'=AP,PC'=PC,(说了这么多,其实就是把三角形APC以A为中心做了个旋转)则△APC≌△AP'C'∵∠BAC≥120°∴∠PAP'=180°-∠BAP-∠C'AP'=180°-∠BAP-∠CAP=180°-∠BAC≤60°∴等腰三角形PAP'中,AP≥PP'∴PA+PB+PC≥PP'+PB+PC'>BC'=AB+AC因此A是费马点3、当所有内角都小于120°时做出△ABC内一点P,使得∠APC=∠BPC=∠CPA=120°,分别作PA,PB,PC的垂线,交于D,E,F三点,如图,再作任一异于P的点P',连结P'A,P'B,P'C,过P'作P'H垂直EF于H易知∠D=∠E=∠F=60°,即△DEF为等边三角形,计边长为d,面积为S则有2S=d(PA+PB+PC)∵P'A≥P'H因此2S△EP'F≤P'A*d同理有2S△DP'F≤P'B*d2S△EP'D≤P'C*d相加得2S≤d(P'A+P'B+P'C)即PA+PB+PC≤P'A+P'B+P'C,当且仅当P,P'重合时取到等号因此P是费马点虽然不知道费马点在那里,我们先假设她在某个位置,做出来,证明她不可能具有某些性质,最后确定她的位置,这个证明仅限于三个内角都小于120度的时候。以A,C为焦点,AP+PC为长轴长,做椭圆,以B为圆心,BP为半径,做圆我们先假定椭圆与原是相交的,并取她们公共部分内部一点P'则P'在圆内也在椭圆内因此P'A+P'B+P'C>PA+PC+PC,与假设矛盾,因此圆与椭圆必相切(不可能没有公共点吧,因为都过P)做她们的公切线,并作直线BP,显然BP与公切线垂直由椭圆的几何性质易知,BP平分角APC,因此∠APB=∠CPB同理有∠APC=∠CPB因此∠APC=∠APB=∠CPB=120°即为费马点