费马点 的两证明方法.doc

费马点的两证明方法费马点,就是平面上到三角形三顶点距离之和最小的点。当三角形有一个内角大于或等于一百二十度的时候,费马点就是这个内角的顶点;如果三个内角都在 120 度以内,那么,费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为 120 度的点。 1、费马点不在三角形外,这个就不用证了,很显然。但为了严谨,还是说一下 2、当有一个内角大于等于 120 度时候对三角形内任一点 P延长 BA至C'使得 AC=AC' ,做∠C'AP'= ∠CAP ,并且使得 AP'=AP, PC'=PC ,(说了这么多,其实就是把三角形 APC 以A为中心做了个旋转) 则△APC ≌△ AP'C' ∵∠ BAC ≥120 ° ∴∠ PAP'=180 °-∠ BAP -∠ C'AP'=180 °-∠ BAP -∠ CAP=180 °-∠ BAC ≤ 60 ° ∴等腰三角形 PAP' 中, AP ≥ PP' ∴ PA+PB+PC ≥ PP'+PB+PC'>BC'=AB+AC 所以 A是费马点 3、当所有内角都小于 120 °时做出△ABC 内一点 P,使得∠APC= ∠BPC= ∠CPA=120 °,分别作 PA,PB,PC 的垂线, 交于 D,E,F 三点,如图,再作任一异于 P的点 P',连结 P'A,P'B,P'C ,过 P'作 P'H 垂直 EF于H易知∠D=∠E=∠F=60 °,即△DEF 为等边三角形,计边长为 d,面积为 S 则有 2S=d(PA+PB+PC) ∵P'A ≥P'H 所以 2S△EP'F ≤P'A*d 同理有 2S△DP'F ≤P'B*d 2S△EP'D ≤P'C*d 相加得 2S≤d(P'A+P'B+P'C) 即PA+PB+PC ≤P'A+P'B+P'C ,当且仅当 P,P' 重合时取到等号所以