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三角函数恒等变换
一、三角函数诱导公式
1、下列各角终边和角α终边关系
角
2kπ+α(k∈Z)
π+α
-α
图示
和α角终边关系
相同
相关原点对称
相关x轴对称
角
π-α
-α
+α
图示
和α角终边关系
相关y轴对称
相关直线y=x对称
2、六组诱导公式
组数
一
二
三
四
五
六
角
2kπ+α
(k∈Z)
π+α
-α
π-α
-α
+α
正弦
sinα
-sinα
-sinα
sinα
cosα
cosα
余弦
cosα
- cosα
cosα
- cosα
sinα
-sinα
正切
tanα
tanα
- tanα
- tanα
口诀
函数名不变
符号看象限
函数名改变
符号看象限
注：诱导公式可概括为各三角函数值化简公式。记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限。其中奇、偶是指
奇数倍和偶数倍，则函数名称变为对应余名函数；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指把α看成锐角时原函数值符号作为结果符号。
二、两角和和差正弦、余弦和正切公式
1、两角和和差正弦、余弦和正切公式
2、二倍角正弦、余弦、正切公式
.
sinα=, cosα=
3、形如asinα+bcosα化简
asinα+bcosα=sin(α+β).其中cosβ=,sinβ=
三、简单三角恒等变换
1、用cosα表示sin2,cos2,tan2
sin2=;
cos2=;
tan2=
注：上述三组公式从左到右起到一个扩角降幂作用；从右到左起到一个缩角升幂作用。
2、用cosα表示sin,cos,tan
sin=
cos=
tan=
3、用sinα,cosα表示tan
tan=
四、常见数据: 三角函数值
,
,
注: ⑴以上公式务必需知道其推导思绪，从而清楚地“看出”它们之间联络，
等.
从而可做到:正用、逆用、变形用自如使用各公式.
⑵三角变换公式除用来化简三角函数式外，还为研究三角函数图象及性质做准备.
⑶三角函数恒等变形基础策略。
①常值代换：尤其是用“1”代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。
②项分拆和角配凑。如分拆项：;
配凑角(常见角变换):、、
、、等.
③降次和升次。即倍角公式降次和半角公式升次。
④化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基础关系化成弦（切）。
⑤引入辅助角。asinθ+bcosθ=sin(θ+)，这里辅助角所在象限由a、b符号确定，角值由tan=确定。
1、三角函数式化简
※相关链接※
（1），，，三角函数值是化简关键工具。使用诱导公式前，要正确分析角结构特点，然后确定使用诱导公式；
（2）不能直接使用诱导公式角经过合适角变换化为能使用诱导公式角，如：等。
注：若出现时，要分为奇数和偶数讨论。
（3）诱导公式应用标准是：负化正，大化小，化到锐角为终了。特殊角能求值则求值；
（4）化简是一个不能指定答案恒等变形，化简结果要尽可能使项数少、函数种类少、次数低、能求出值要求出值、无根式、无分式等。
※例题解析※
〖例〗化简：
思绪分析：化简时注意观察题设中角出现了，需讨论是奇数还是偶数。
2、三角函数求值
※相关链接※
（1）六个诱导公式和同角三角函数关系是求值基础；
（2）已知一个角三角函数值，求其它角三角函数值时，要注意对角化简，通常是把已知和所求同时化简，化为同一个角三角函数，然后求值。
※例题解析※
〖例〗已知，求值。
思绪解析：化简已知条件化简所求三角函数式，用已知表示代入已知求解
3、诱导公式在三角形中应用
〖例1〗在ΔABC中，若sin(2π-A)=sin(π-β)，cosA=cos(π-β)求ΔABC三内角。
思绪分析：本题首先利用诱导公式把所给两个等式化简，然后利用，求出cosA值，再利用A+B+C=π进行计算。
注：在ΔABC中常见变形结论有：
∵A+B+C=π，2A+2B+2C=2π，，
∴sin(A+B)=sin(π-C)=sinC;
cos(A+B)=cos(π-C)=-cosC;
tan(A+B)=tan(π-C)=-tanC;
sin(2A+2B)=sin(2π-2C)=-sin2C;
cos(2A+2B)= cos(2π-2C)=co