计算方法 1插值方法.ppt

函数y=f(x)给出一组函数值y=f(x1),i=0,1,…,n
yyoy1y2……y
其中xn,xp2x2…x,是区间ab上的互异点,要构造一个简
单的函数p(x)作为∫(x)的近似表达式,使满足
p(x)=y,=0,1,…,n(插值原则、插值条件)
这类问题称为插值问题。
p(x)-f(x)的插值函数,
f(x)---被插值函数
x,x1x2…xn…-插值节点
求插值函数的方法称为插值法
若x∈[ab,需要计算f(x)的近似值p(x),则称x为插值点。
yo
y
p
0
当选择代数多项式作为插值函数时,称为代数多项式
插值问题
代数多项式插值问题
设函数=(x)在a,b1有定义,且已知在n+1个点
aSx0<x1……<n5b上的函数值py1……Jn,要求
个次数不高于n的多项式
p()=a +ar+a, r +.+ar
使满足插值原则P(x)=y,,i=0,1,…,n
称pn(x)为(x)的n次插值多项式
本章只讨论多项式插值与分段插值。因为多项式具有一些很
好的特性,如它具有各阶导数,计算多项式的值比较方便,多项
式四则运算后仍是多项式等等
2插值多项式的存在唯一性
定理2在n+1个互异基点处满足插值原则且次数不超过n的
多项式pn(x)是存在并唯一的。
证由p(x)=y,=0,1,,n得
aotarota2ro =y
ao+artar+.tant, =yI
其系数行列式
d0+arn++.tauEm=yu
(xn,x1;…,x)=x
(x2-x;)≠0
因此方程组存在唯一的解a0,a1,…,an,因此pn(x)存在并唯一。

1线性插值
2抛物插值
3一般情形
1线性插值-=1时的代数多项式插值
已知f(x1)=yn,f(x1)=1,x0
要构造线性函数p/(x),使它满足插值条件
y
y
P1(x)=y,p(x1)=y1
y-y
P()+、+、)(x-x,)(线性插值多项式)
,x=y+
y=yl(r)+y, l(r)
(拉格朗日线性插值多项式)
么式的结构:它是两个一次丽数的线性组合
-r
L(r)
L,(x)=
(线性插值基函数)
x0-x1
例1已知√100=10√121=11求√115
l0012I
10I
解
115-121
P2(115=
X10、115-100
100-121
121-100
=
√…
与精确值比较,这个结果有3位有效数字
基函数的性质
l2(x;)=1,l;(x;)=0(j≠i),i,=0
yPp(x)的几何意义
PO
y
l)
2抛物插值-=2时的代数多项式插值
已知∫(x)在三个互异节点xn,x1,x2的函数值yny1y2
要构造次数不超过二次的多项式p2(x)
使满足插值条件
P(x)=y,Gj=0,12)
公式的构造:采用基函数方法构造p2(x),先构造三个
二次插值基函数l(x)=0,1,2),使满足
(xn)=1,l(x,)=l0(x2)=0
l,(x,)=1,l,(xn)=l1(x2)=0
l,(x,)=1,L,(xn)=l2(x)=0
且l(x)(=0,1,2),是一个二次函数
先构造lx)因它有两个零点x1及x2故可表为
L(x =c(x-x x-x2
其中c为待定系数,由条件lx)=1,求得
C
(x0-x1)(xo-x2)
于是,得
(x-x,)(x-x,)
L(r)
(xn-x,)(x-x,)
同理可得l(x)
(x-x)(x-x,)
(x1-x)(x1-x2)
(r-x(r-x
(r
(x,-x)(x,-x,)