20刘维定理泊松括号和泊松定理.ppt

第二十讲
刘维定理
泊松括号
本讲导读
统计力学基本定理刘维定理
泊松括号的定义
泊松括号的性质
泊松定理
一、刘维定理
分析力学解决宏观机械问题的过程并不比牛顿力学简单, 但是对于大数目系统, 往往牛顿力学无法求解,而运用哈密顿正则方程却容易的多.
哈密顿动力学用广义坐标和广义动量描述力学系统的运动. 对一个自由度问题, 某一时刻的状态用x和p值表示, 即xp平面上的一个点表示. 随着时间推移, 状态不断变化, 它在xp平面上刻画出一条曲线.
多自由度的情况也类似. 对于s个自由度的力学系统, 我们把广义坐标和广义动量当作直角坐标而构成2s维的空间叫作相空间. 该力学系统在某一时刻的状况也可用相空间的一个点表示. 随着时间的推移,相空间中的代表点给出的曲线形成相轨道, 换句话说, 相轨道给出力学系统随时间的演变过程.
原则上, 给定力学系统的初始状态, 该系统的运动就由动力学方程完全确定, 即以相空间中某一点为出发点的相轨道,由动力学方程所完全决定. 但是, 如果系统的自由度数比较大, 力学系统比较复杂, 我们不能断定相空间中究竟哪一点准确地代表系统的状态. 怎么办?
替代的办法:我们只能考虑各种可能的代表点, 其中每一点都代表系统的一种可能状态. 实质上, 这是考虑处于给定约束条件下许许多多性质完全相同的力学系统, 这些性质完全相同的力学系统构成一个系综; 相空间中每一个代表点对应于系综中某一个力学系统的状态, 代表点的相轨道对应于该系统的演变, 各种可能的代表点则对应于系综中所有力学系统的状况, 各种可能的相轨道则对应于系综的演变. 这就是统计力学的起点.
刘维定理: 保守力学体系在相空间中代表点的密度, 在运动过程中保持不变.
物理含义: 同一力学体系在不同的初始状态所构成的不同代表点,, 在新的区域, 代表点的密度,等于在出发区域中的密度.
设体积元为
其中代表点的数目为dN, 代表点的密度为, 则
一般密度随时随地不同, 所以从
知
刘维定理说明在体系中d/dt=0
刘维定理证明:
假定初始时,体元位置为
经历时间dt, 这个固定体元中代表点的数目变化
另一方面也可以从代表点在运动中出入这个固定体元的边界的数目来计算在时间dt中代表点的数目变化
先考虑通过一对曲面q, q+ dq进出d代表点的增加. 把体元d表达式改写为
在 dt 时间内通过q进入d的代表点必定位于一个柱体内, 柱体底为dA, 高为, 为相空间中代表点垂直于曲面q的速度分量. 所以在dt 时间内通过q进入d的代表点数为
同理, 在dt 时间内通过曲面q+ dq离开d代表点的数目为
两者相减, 得通过曲面q和q+ dq进入d代表点的净数目为
同理, 得通过曲面p和p+ dp进入d代表点的净数目为
把上面两式相加,并对求和, 则得在 dt时间内由于代表点的运动, 穿过d的边界而进入其中的代表点的净数目
显然
所以
利用正则方程, 得
证明完毕!
刘维定理是统计力学的基本的定理. 它是2s维的相空间中的定理, 在普通空间或 s 维的位形空间(把 s 个广义坐标作为直角坐标构成的空间)中并不存在类似的定理. 因此, 在统计力学讨论系综时需要运用哈密顿动力学而不用拉格朗日动力学.
刘维定理的另外表示