多项式的因式分解.1多项式的因式分解.ppt

第3章因式分解
3I多项式的因式分解
温以知新
21等于3乘哪个整数?
对于整数21与3,有整数7使得213×7,我们把3
,7也是21的一个因数.
x2-1等于x+1乘哪个多项式?x2-1=(x+1(x-1)
对于多项式x2-1与x+1,有x1使得x2-1=(x+1(x-1)
,我们把x+1叫作x2-1的一个因式,同
理x1也是x2-1的
个因式
一般地,对于两个多项与,如果有多项
式h使得f=gh,那么我们把g叫作的一个因
式,此时,h也是f的一个因式
。把x2-1写成(x+1)(x-1)的形式,叫做
把这个多项式因式分解
般地,把一个多项式表示成若干个
多项式的乘积的形式,称为把这个多项式
因式分解
可以看出,因式分解与整式乘法其实是两种互逆的变形
即
因式分解
(x+1)(x-1)0
0整式乘法
为什么要
万里长城是由砖砌成的不少
把一个多房子也是用砖砌成的因此,砖
项式因式
分解呢?
是基本建筑块之
⊙类似地;在数学中也经常要寻找那些“基
本建筑块
例如,在正整数集中,像2,3,5,7,11,⊙
13,17,∴这些大于1的数,它的因数只有1和
°它自身,称这样的正整数为质数或素数个
素数就是正整数集中的“基本建筑块”:每一个
于1的正整数都能表示成若干个素数的乘积的形式
0例如。12=2×2×3,
30=2×3×5
有了①式和②式,就容易求出12和30的最大公因数
为
2×3=6
进而很容易把分数约分:分子与分母同除以6,
得12
25
)的多项式组成的集合中,也有一些多项式起⊙
同样地,在系数为有理数(或系数为实数
着“基本建筑块”的作用:
0每一个多项式可以表示成若干个这种多项式的
乘积的形式,从而为许多问题的解决架起了桥梁
例如,以后我们要学习的分式的约分,解一元
二次方程,解一元二次不等式等,都需要把多项式
因式分解
因式分解还可以在许多实际问题中简化计算
典例星
5。卜列各式由左边到右边的变形,哪些是因式
分解,哪些不是,为什么?
(1)a2+2ab+h2=(a+b)2
00(2)m2+m-4=(m+3)(m-2)+2.
0解(1)
2+2ab+b2表示成了多项式a+b与a+b的积的形式
(2)(m+3)(m-2)+2不是几个多
项式乘积的形式
典例宝
检验下列因式分解是否正确
(1)x2+xy=x(x+y)
:因为x(x+y)=x2+xy,
0所以因式分解x2+xy=x(x+y)正确
(2)a2-5a+6=(a-2)(a-3)
解因为(a-2)(a-3)=a2-5a+6
所以因式分解a2-5a+6=(a-2)(a-3)正确
(3)2m2-n2=(2m-n)(2m+n)
解因为(2m-n)(2m+n)=4m2-n2≠2m2-n2,
所以因式分解2m2-n2=(2m-n)(2m+n)不正确
分析检验因式分解是否正确,
只要看等式右边的几个多项式的
乘积与左边的多项式是否相等
,.6,14的最大公因数最大公因数是2
,哪些是因
式分解,哪些不是,为什么?
(1)(x+1)(x+2)=x2+3x+2:0

积的形式
(2)2x2y+4xy
2=2xy(x+2y)
+4xy2表示成了多项式2xy与
x+2y的积的形式