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可靠性数学基础知识
重庆大学 周家启
集合与事件
概率是事件的一定属性，事件可以通过集合(简称“集”)来描述。因之在研究概率之前，讨论一下集合的基本概念。
集合的定义和符号
具有某种规定性质的事物的总体称为集(合)。组成集合的这些事物的每一个体称为集的元素或成员。只有有限个元素的集称为有限集，具有无限个元素的集称为无限集。例如，“A城中18岁及以上的全体公民”是一个有限集，“所有正整数的全体”则是一个无限集。
集合常用大写字母表示，元素常用小写字母表示，如果某一个体x是集A的元素，则记为
读作“x属于A”。而
则表示x不属于A。
如果集A和集B具有完全相同的元素，即集A的每个元素都是B的元素，集B的每个元素也都是A的元素，则说A等于B，记为A=B。
有限集A中元素的数目叫A的基数，记为|A|。
一个集S可以用列举出它的全部元素的方式来表示，例如
与括号中元素的排列次序无关。
一个集P也可以按照它的元素某种特定的属性来表示，例如
括号中垂直线左右的记号代表集的典型元素。
于是前面列出的集S也可写成
或
有两个集A和B，如果B的每个元素都是A的元素，则说B是A的子集，记为
或
有时读成A包含B。一个集A也总是它本身的一个子集，。集A中任何一个不等于A的子集B称为A的真子集，记为
或
如果 且， 则A=B。
集合的基本组合规则
通过集的运算可以将某些集合组合形成新的集合，一般有如下一些运算规则。
如果A和B是两个集，则它们的并定义为
它们的交定义为
例1 如果S=[2、3、5、7]且T=[1、2、3]，则
=[1、2、3、5、7]；=[2、3]
如果集A和集B没有公共元素，则称它们为不相交的集。这两个不相交集之交得到一个不包含任何元素的集。称其为空集，以表示。因之，而且也是任意一个集N的子集。
集的并和交的运算服从以下规则
1. 幂等律
，
2. 交换律
，
3. 结合律
，
4. 分配律
，
集A和集B的差A–B定义为
如果B是A的一个子集，则有时称A–B为B在A中的补集。
例2 如果S=[2、3、5、7]且T=[1、2、3]，则
S–T = [5、7]；T–S = [1]
集的集合的概念
在可靠性评估技术中常会碰到集中的元素本身也是一个集的情况。以下用所谓的幂集来说明这个概念。
定义任意集A的幂集(A)为A的全部子集的集合，即
例3 令A=[x, y, z]，则
对于集的集合，其并和交的定义是：令为任意集的集合，则并
而交
如果是有限个集的集合，例如，则常可写出
或
或
例4 令=[A、B、C]，其中A=[2，3，5，7]，B=[1，3，5]，
C=[1，2，3]，则
=[1、2、3、5、7]，
还可以由其它的方式构成集的集合。
如果集A的每一个元素至少属于集中的一个成员，即，则称集A的非空子集的集合为A的覆盖。
如果A的一个覆盖还具有如下性质：的全部成员都是两两互不相交的，则称是A的一个划分。
例5 如果S=[a、b、c、d、e]，则可以有如下覆盖
{[a、b]，[b、c、d]，[b、c、e]}；{[a、b]，[c、d、e]}；
{[a]、[b]、[c]、[d]、[e]}
并且上面第二及第三个覆盖又是A的两个划分。
事件及其集合表达
样本空间
人类的生产和科研活动、或观察到的自然现象，都存在着相互联系与制约的因素，有其一定的内在必然发展规律，但它们同时又受着各种各样外在偶然因素的影响，呈现出现象发生的“随机性”。概率论和统计学就发端于对这些“随机”现象的研究。
随机现象的基本特征是，这些现象在一定条件下可能发生，也可能不发生，需要通过对现象的统计实验来研究其发生的规律。统计方法往往是在一定条件下进行试验或现场观测，将其结果记录下来，作为研究和推断的依据。按原始形式收集的观察记数或试验的测量记录，一般称为原始数据。在统计学中常用“实验”一词来统称产生原始数据的过程。
抛掷硬币观察其出现正面或反面的现象，是最常用的统计实验例子。气象观测、水文观测、电站运行记录、产品质量检验记录等，也都是生产和科研工作中的统计实验方法。
通常将一个给定条件的统计实验中所有可能结果的总和称为“样本空间”，或者用集合的术语描述为：一个项统计记录的全部可能结果的集合称为样本空间，并常用S表示。
例6 将一枚硬币抛掷两次，可能出现的全部结果是，{正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}，则样本空间
S = {{正，正}，{正，反}，{反，正}，{反