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第二章谓词逻辑问题的提出:(即命题逻辑的局限性) 在第一章, 一个原子命题只用一个字母表示, 而不再对命题中的句子成分细分。这样有一些逻辑问题无法解决。请看下面的例子。:小张是大学生。 Q:小李是大学生。从符号P、Q中不能归纳出他们都是大学生的共性。我们希望从所使用的符号那里带给我们更多的信息,比如可以看出他们的共性。这种想法在第一章是无法实现的。:所有自然数都是整数。 B:8是自然数。 C:8是整数。这是著名的三段论推理, A是大前提, B是小前提, C是结论。显然,由A和B可以推出结论C。这个推理是有效的,但是这个推理在第一章也是无法实现的。分析: 命题P与Q中的谓语是相同的(是大学生), 只是主语不同。命题A、B、C之间在主语谓语方面也是有联系的,靠这种联系才能由A、B推出C。而从这三个符号上看不出此种联系。所以就要另外考虑表示命题的方法。解决这个问题的方法: 在表示命题时,既表示出主语,也表示出谓语, 就可以解决上述问题。这就提出了谓词的概念。令S(x) 表示 x是大学生, a:小张, b:小李命题 P表示成 S(a): 小张是大学生。命题 Q表示成 S(b): 小李是大学生。从符号 S(a) 、S(b) 可看出小张和小李都是大学生的共性. 令N(x):x 是自然数。 I(x):x 是整数。?表示所有的。 A: ?x(N(x) →I(x)) B :N(8) C :I(8) N(8) →I(8) N(8) ? I(8) 符号 S(x) 、N(x) 、I(x) 就是所谓的谓词。推理如此实现: 2-1 基本概念 2- 客体与客体变元?定义:能够独立存在的事物,称之为客体,也称之为个体。它可以是具体的,也可以是抽象的事物。通常用小写英文字母 a、b、c、... 表示。例如,小张、小李、 8、a、沈阳、社会主义等等都是客体。?定义:用小写英文字母 x、y、z... 表示任何客体,则称这些字母为客体变元。?注意:客体变元本身不是客体。 2- 谓词?定义:一个大写英文字母后边有括号,括号内是若干个客体变元,用以表示客体的属性或者客体之间的关系,称之为谓词。如果括号内有 n个客体变元,称该谓词为 n元谓词。?例如 S(x): 表示 x是大学生。一元谓词 G(x,y) :表示 x>y 。二元谓词 B(x,y,z) :表示 x在y与z之间。三元谓词一般地 P(x 1,x 2,…,x n) 是n元谓词。 2- 命题函数?谓词本身并不是命题,只有谓词的括号内填入足够的客体,才变成命题。?例如, a表示小张, b表示小李,则 S(a): 小张是大学生。 S(b): 小李是大学生。 G(7,3) 表示:7>3。如果 c表示锦州, d表示沈阳, e表示山海关,则 B(c,d,e) 表示:锦州在沈阳与山海关之间。这时 S(a) 、S(b) 、G(7,3) 、B(c,d,e) 才是命题。令谓词 S(x):x 是大学生,括号内填入不同的人名, 就得到不同的命题,故谓词 S(x) 相当于一个函数, 称之为命题函数。定义:n元谓词 P(x 1,x 2,…,x n)称之为简单命题函数。规定: 当命题函数 P(x 1,x 2,…,x n)中n=0 时,即 0 元谓词,表示不含有客体变元的谓词,它本身就是一个命题变元。定义:将若干个简单命题函数用逻辑联结词联结起来,构成的表达式,称之为复合命题函数。简单命题函数与复合命题函数统称为命题函数。?例如?给定简单命题函数: A(x) :x身体好, B(x) :x学习好, C(x) :x工作好, ?复合命题函数?A(x) →(?B(x) ∧?C(x)) 表示如果 x身体不好,则 x的学习与工作都不会好。 2- 论域(个体域)?定义:在命题函数中命题变元的取值范围,称之为论域,也称之为个体域。例如 S(x):x 是大学生,论域是:人类。 G(x,y) :x>y ,论域是:实数。论域是一个集合。?定义:由所有客体构成的论域,称之为全总个体域。它是个“最大”的论域。?约定:对于一个命题函数,如果没有给定论域,则假定该论域是全总个体域。 2- 量词?例如:有些人是大学生。所有事物都是发展变化的。“有些”,“所有的”,就是对客体量化的词。?定义:在命题中表示对客体数量化的词,称之为量词。?定义了两种量词: (1). 存在量词:记作?,表示“有些”、“一些”、“某些”、“至少一个”等。 (2). 全称量词:记作?,表示“每个”、“任何一个”、“一切”、“所有的”、“凡是”、“任意的”等。