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四点共圆的判定与性质
一、四点共圆的判定
（一）判定方法
1、 若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。
2、 若一个四边形的一组对角互补（和为 180 °），则这个四边形的四个点共圆。
3、 若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆。
4、 若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两 个点和这条线的两个端点共圆。
5、 同斜边的直角三角形的顶点共圆。
6、 若AB、CD两线段相交于 P点，且PAX PB=PCX PD,贝U A、B、C、D四点共圆（相交
弦定理的逆定理）。
7、 若AB、CD两线段延长后相交于 P。且PAX PB=PCX PD,则A、B、C、D四点共圆（割
线定理）。
8、若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积， 则四边形的四个顶点共圆（托勒密定
理的逆定理。
（二）证明
1、若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。
若可以判断出 OA=OB=OC=OD则A、B C、D四点在以0为圆心OA为半径的圆上。
2、若一个四边形的一组对角互补（和为
180 °），则这个四边形的四个点共圆。
若/ A+Z C=180。或/ B+Z D=180°
则点A、B、C、D四点共圆。
3、若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆。
若/ B=Z CDE贝U A、B、C、D四点共圆证法同上。
4、若两个点在一条线段的同旁， 并且和这条线段的两端连线所夹的角相等， 那么这
两个点和这条线的两个端点共圆。
若/ A=Z D 或/ ABD=Z ACD,贝U A、B C、D 四点共圆。
5、同斜边的直角三角形的顶点共圆。
如图2，若/ A=Z C=90°,贝U A、B、C、D四点共圆。
6、若AB、CD两线段相交于 P点，且PAX PB=PCX PD,贝U A、B、C、D四点共圆（相交
弦定理的逆定理）。
7、若AB、CD两线段延长后相交于 P。且PAX PB=PCX PD,则A、B、C、D四点共圆（割
5
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线定理）。
理的逆定理）
8、若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积,
则四边形的四个顶点共圆（托勒密定
已知四边形
ABCD,若 ABX CD+BDX AC=ADX BC,贝U A、B、C、D 四点共圆。
（三）例题
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