完整版四点共圆的判定与性质.doc

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(完整版)四点共圆的判定与性质
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四点共圆的判断与性质
一、四点共圆的判断
（一）判断方法
1、若四个点到一个定点的距(完整版)四点共圆的判定与性质
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四点共圆的判断与性质
一、四点共圆的判断
（一）判断方法
1、若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。
2、若一个四边形的一组对角互补（和为 180°），则这个四边形的四个点共圆。
3、若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆。
4、若两个点在一条线段的同旁，而且和这条线段的两头连线所夹的角相等，那么这两
个点和这条线的两个端点共圆。
5、同斜边的直角三角形的极点共圆。
6、若 AB、CD 两线段订交于 P 点，且 PA× PB=PC×PD，则 A、 B、 C、D 四点共圆 (订交
弦定理的逆定理 )。
7、若 AB、CD 两线段延伸后订交于 P。且 PA× PB=PC× PD，则 A、B、C、D 四点共圆 (割
线定理 )。
8、若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积， 则四边形的四个极点共圆 (托勒密定
理的逆定理。
（二）证明
1、若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。
若能够判断出 OA=OB=OC=OD，则 A、 B、 C、 D 四点在以 O 为圆心 OA 为半径的圆上。
2、若一个四边形的一组对角互补（和为 180°），则这个四边形的四个点共圆。
若∠ A+∠ C=180°或∠ B+∠ D=180°，则点 A、 B、C、D 四点共圆。
3、若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆。
若∠ B=∠ CDE，则 A、 B、 C、D 四点共圆证法同上。
4、若两个点在一条线段的同旁， 而且和这条线段的两头连线所夹的角相等， 那么这
两个点和这条线的两个端点共圆。
若∠ A=∠D 或∠ ABD=∠ ACD，则 A、 B、 C、D 四点共圆。
5、同斜边的直角三角形的极点共圆。
如图 2 ，若∠ A=∠ C=90°，则 A、 B、 C、 D 四点共圆。
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A
D
B C

A
C
D
B
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6、若 AB、CD 两线段订交于 P 点，且 PA× PB=PC×PD，则 A、 B、 C、D 四点共圆 (订交
弦定理的