函数的单调性和奇偶性 [初中数学 函数的奇偶性和单调性].docx

函数的单调性和奇偶性 [初中数学 函数的奇偶性和单调性]

　　函数的奇偶性和单调性
　　湖南岳阳县七中 胡旭光供稿
　　一. 知识总结
　　1. 函数的奇偶性
　　奇函数
　　在原点有定义
　　为奇函数; 为偶函数;
　　任一个定义域有关原点对称的函数个偶函数之和
　　一定能够表示成一个奇函数和一
　　即
　　.
　　2. 函数的单调性
　　定义:
　　区间
　　上增函数, 若
　　奇函数在有关原点对称的区间上单调性相同; 偶函数在有关原点对称的区间上单调性相反. 判定函数单调性的方法:①定义法, 即比差法; ②图象法; ③单调性的运算性质; ④复合函数单调性判定法则.
　　3. 周期性:周期性关键利用在三角函数及抽象函数中, 是化归思想的主要手段. 求周期的主要方法:①定义法; ②公式法; ③图象法; ④利用主要结论:若函数f满足f=f,f=f,a≠b,则T=2|a-b|.
　　上任意两个值时有
　　,
　　若
　　, 称
　　时有为
　　上减函数.
　　,
　　称
　　为
　　二. 例题精讲
　　例1已知定义域为的函数
　　求
　　若对任意的取值范围.
　　解析：因为
　　是奇函数，因此
　　=0。
　　是奇函数.
　　的值;
　　, 不等式恒成立, 求的
　　即
　　又由f = -f知
　　由知．又由题设条件得：
　　即 ： 整理得
　　上式对一切
　　均成立。
　　从而判别式
　　例2设函数表示和, 并求
　　解：依题意有
　　而
　　在处取得极值－2, 试用
　　的单调区间.
　　故 从而
　　解得
　　令 因为
　　得在
　　或处取得极值。
　　故
　　即。
　　若，即，则当初，；
　　当
　　时，；当初，；
　　从而的单调增区间为；
　　单调减区间为
　　若，即，同上可得。
　　的单调增区间为；单调减区间为
　　例3
　　设函数
　　成立, 求实数的取值范围.
　　讨论函数
　　解法一：令g＝ln －ax ，对函数g求导数：g ′＝ln ＋1－a
　　令g ′＝0，解得x ＝e a －1－1。
　　当a ≤1时，对全部x ＞0，g ′＞0，因此g在[0，＋∞) 上是增函数，又g＝0，因此对x ≥0，全部有g≥g，即当a ≤1时，对于全部x ≥0，全部有 f≥ax ．
　　当a ＞1时，对于0＜x ＜e a －1－1，g ′＜0，因此g在 是减函数。
　　又g＝0，因此对0＜x ＜e a －1－1，全部有g＜g，即当a ＞1时，不是对全部的x ≥0，全部有f≥ax 成立．综上，a 的取值范围是解：设
　　则
　　∵ ∴
　　当 当 当
　　时。
　　为常量，无单调性
　　时。
　　则
　　为减函数
　　时。
　　则
　　为增函数
　　例4 已知函数 若
　　若
　　已知
　　求
　　, 其中的单调性;
　　为常数.
　　, 讨论函数
　　,
　　且=4,试证:.
　　为定义在
　　上的奇函数，当
　　时。
　　的表示式.
　　解：∵ 当
　　∵ ∴
　　为奇函数 ∴
　　时。
　　为奇函数， ∴
　　∴
　　三. 巩固练习
　　1.
　　已知
　　值范围是 A.
　　B.
　　C.
　　是上的减函数, 那么的取
　　D.
　　2.
　　已知是周期为2的奇函数,
　　当
　　则
　　时
　　, ,
　　设
　　A.
　　3. 下列函数中, 在其定义域内既是奇函数又是减函数的是
　　A.
　　B. C. D.
　　B.
　　C.
　　D.
　　4. 若不等式
　　B. –2 C.- D.-3 5. 设
　　对于一切
　　成立, 则的取值范围是
　　是上的任意函数, 则下列叙述正确的是
　　A. C.
　　6.
　　已知定义在
　　上的奇函数
　　为
　　A. －1
　　7. 已知函数于直线
　　对称, 记
　　的图象和函数
　　的图象关在区间
　　上
　　满足
　　,
　　则
　　的值
　　是偶函数 D.
　　是偶函数
　　是奇函数 B.
　　是奇函数
　　是增函数, 则实数的取值范围是 A.
　　8.
　　假如函数
　　增函数, 那么实数的取值范围是 Ａ.
　　B. C. D.
　　在区间上是
　　Ｂ. Ｃ. Ｄ.
　　9. 对于上可导的任意函数
　　A. D.
　　10. 已知 A.
　　11. 已知函数
　　12. 已知函数时, 13.