函数单调性和奇偶性.doc

函数单调性和奇偶性.doc函数的单调性和奇偶性
函数的单调性和奇偶性
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函数的单调性和奇偶性
函数的单调性和奇偶性
一、学习目标
理解函数的单调性概念，能根据函数单调性定义证明函数在给定区间上的增减性。
会判定函数的单调性，会求单调区间。
准确掌握一次函数、二次函数的单调性。
解奇函数、偶函数的概念及图像物征，能判断某些函数的奇偶性；
二、例题分析
第一阶梯
[ 例 1] 什么叫函数 f (x) 在区间 [a,b] 上是增函数（减函数）？
[ 解]
设任意的 x
,x ∈[a,b],
当 x <x 时，都有 f(x
1
)<f(x
), 那么就说 f(x) 在
1
2
1
2
2
区间 [a,b] 上是增函数。
设任意的 x1，x2∈ [a,b],
当 x1<x2 时，都有 f(x
1)>f(x
2) ，都有 f(x 1)>f(x 2) ，
那么就说 f(x) 在区间
[a,b] 上是减函数。
[ 评注]
(x) 在某个区间上是增函数或减函数， 那么就说函数 f(x) 在这一区间具有（严格的）单调性，
这一区间叫做 f(x) 的单调区间。
函数的单调性相对于区间而言，这个区间当然是函数定义域的子集。
例如， 的定义域 A=（－ ∞，0）∪（ 0， +∞）, 那么，下列说法正确的
是
（把正确说法的代号都填上）
① f(x) 在其定义域 A 上是增函数
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② f(x) 是单调函数
f(x) 在区间（－ ∞，0）上是增函数
④ f(x) 在区间（ 0，+∞）上是减函数
⑤ f(x) 的单调增区间有（－ ∞，0），（ 0， +∞）
答：正确说法是③、⑤，其它说法都是错误的，我们着重论证说法①是错误的：设 x1 =1,x 2=1, 则 x1,
x 2∈ A, 但
[ 例 2] 怎样根据函数单调性定义，证明函数的增减性？试举一例。
[ 解] 根据单调性定义证明函数增减性的步骤是：
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（ 1）设

x1,x

2: 即设

x1、 x2 是该区间上的任意二值，且

x1<x2
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（ 2）比较

f(x

1 ) 和

f(x

2) 的大小：通常采用作差法，即作差

f(x

1)-f(x

2) ，变
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形，定号。
（也可以用“作商”等其它比较法）
（ 3）作出结论：根据单调性定义，作出增函数或减函数的结论。
例：根据函数单调性定义证明 在区间（ 0，2] 上是减函数。
证明：设 0<x1 <x2≤2，则
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由 ；
由
∴由①得， f(x 1) － f(x 2)>0 ，即 f(x 1)>f(x 2) 。
∴ 在区间（ 0，2）上是减函数。
[ 例 3] 怎样判别函数的单调性？举例说明。
【解】目前应该学会判断单调性的三个判别法：
、定义法：根据增函数、减函数的定义来判别。例如，判别函数
的单调性：
根据定义，先取 x2>x1>0，作差
这里的△ f 是函数改变量 f(x 2) － f(x 1) 的记号。函数 f(x) 的单调性由△ f 的符号来确定，而△ f 的符号
来确定， △f 的符号由因式 x1x2— 4 来确定：显然 x=2 是分界点，当 x1，x2∈（0，2）时， x1x2－4<0，从
而△ f<0 ，