线性方程组的几种求解方法.pdf

线性方程组的几种解法
线性方程组形式如下：
常记为矩阵形式
其中
一、高斯消元法
高斯（Gauss)消元法的基本思想是：通过一系列的加减消元运算，也就是代数中的加减
消去法，将方程组化为上三角矩阵；然后，再逐一回代求解出x 向量。现举例说明如下：
（一）消元过程
第一步：将(1)/3 使 x 的系数化为 1 得
1
再将(2)、(3)式中 x 的系数都化为零，即由(2)-2×(1)(1)得
1
2 1
x  x  x  2 ...... (1)(1)
1 3 2 3 3
2 4
x  x  0 ...... (2)(1)
3 2 3 3
由(3)-4×(1)(1)得
14 10
 x  x  6 ...... (3)(1)
3 2 3 3
第二步：将(2)(1)除以 2/3，使 x 系数化为 1，得
2
x  2x  0 ...... (2)(2)
2 3
再将(3)(1)式中 x 系数化为零，即
2
由(3)(1)-(-14/3)*(2)(2) ，得
18
x  6 ...... (3)(2)
3 3
第三步：将(3)(2)除以 18/3，使 x 系数化为 1，得
3
x  1 ...... (3)(3)
3
经消元后，得到如下三角代数方程组：
（二）回代过程
由(3)(3)得 x =1,
3
将 x 代入(2)(2)得 x =-2,
3 2
将 x 、x 代入(1)(1)得 x =1
2 3 2
所以，本题解为[x]=[1,2,-1]T
（三）、用矩阵演示进行消元过程
第一步： 先将方程写成增广矩阵的形式
第二步：然后对矩阵进行初等行变换
初等行变换包含如下操作
（1） 将某行同乘或同除一个非零实数
（2） 将某行加入到另一行
（3） 将任意两行互换
第三步：将增广矩阵变换成上三角矩阵，即主对角线全为 1，左下三角矩阵全为 0，形
式如下：
示例：
（四）高斯消元的公式
综合以上讨论，不难看出，高斯消元法解方程组的公式为
1． 消元
（1） 令
a (1) = a , （i,j=1,2,3,…,n）
ij ij
b (1) =b , （i=1,2,3,…,n）